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高斯類數問題

對於給定的 m，確定基本二元二次型判別式 -d 的完整列表，使得類數由 h(-d)=m 給出。 Heegner (1952) 給出了 m=1 的解，但由於一些明顯的漏洞，它並沒有被完全接受。然而，隨後對 Heegner 證明的檢查表明它是“本質上”正確的（Conway 和 Guy 1996）。因此，Conway 和 Guy (1996) 將具有 h(-d)=1 的 n(-d) 的九個值（其中 -d 是對應於二次域 a+bsqrt(n) 的二元二次型判別式）(n=-1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, 和 -163；OEIS A003173) 稱為 Heegner 數。Heegner 數有許多引人入勝的性質。

Stark (1967) 和 Baker (1966) 獨立地證明了只存在九個這樣的數；這兩個證明都被接受了。 Baker (1971) 和 Stark (1975) 隨後且獨立地完全解決了 m=2 的廣義類數問題。 Oesterlé (1985) 解決了 m=3 的情況，Arno (1992) 解決了 m=4 的情況。 Wagner (1996) 解決了 n=5、6 和 7 的情況。 Arno等人 (1993) 解決了 奇數 m 滿足 5<=m<=23 的問題。 Watkins (2004) 透過廣泛的計算，解決了所有 m<=100 的問題。

亦請參閱

類數, 高斯類數猜想, Heegner 數

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參考文獻

Arno, S. "The Imaginary Quadratic Fields of Class Number 4." Acta Arith. 40, 321-334, 1992.Arno, S.; Robinson, M. L.; and Wheeler, F. S. "Imaginary Quadratic Fields with Small Odd Class Number." Dec. 1993. http://www.math.uiuc.edu/Algebraic-Number-Theory/0009/.Baker, A. "Linear Forms in the Logarithms of Algebraic Numbers. I." Mathematika 13, 204-216, 1966.Baker, A. "Imaginary Quadratic Fields with Class Number 2." Ann. Math. 94, 139-152, 1971.Conway, J. H. and Guy, R. K. "The Nine Magic Discriminants." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 224-226, 1996.Goldfeld, D. M. "Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields." Bull. Amer. Math. Soc. 13, 23-37, 1985.Heegner, K. "Diophantische Analysis und Modulfunktionen." Math. Z. 56, 227-253, 1952.Heilbronn, H. A. and Linfoot, E. H. "On the Imaginary Quadratic Corpora of Class-Number One." Quart. J. Math. (Oxford) 5, 293-301, 1934.Ireland, K. and Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 192, 1990.Lehmer, D. H. "On Imaginary Quadratic Fields whose Class Number is Unity." Bull. Amer. Math. Soc. 39, 360, 1933.Montgomery, H. and Weinberger, P. "Notes on Small Class Numbers." Acta. Arith. 24, 529-542, 1974.Oesterlé, J. "Nombres de classes des corps quadratiques imaginaires." Astérique 121-122, 309-323, 1985.Oesterlé, J. "Le problème de Gauss sur le nombre de classes." Enseign Math. 34, 43-67, 1988.Serre, J.-P. Delta=b^2-4ac." Math. Medley 13, 1-10, 1985.Shanks, D. "On Gauss's Class Number Problems." Math. Comput. 23, 151-163, 1969.Sloane, N. J. A. Sequence A003173/M0827 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stark, H. M. "A Complete Determination of the Complex Quadratic Fields of Class Number One." Michigan Math. J. 14, 1-27, 1967.Stark, H. M. "On Complex Quadratic Fields with Class Number Two." Math. Comput. 29, 289-302, 1975.Wagner, C. "Class Number 5, 6, and 7." Math. Comput. 65, 785-800, 1996.Watkins, M. "Class Numbers of Imaginary Quadratic Fields." Math. Comput. 73, 907-938, 2004.

在 中被引用

高斯類數問題

請引用為

Weisstein, Eric W. “高斯類數問題。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GausssClassNumberProblem.html

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