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高斯類數猜想

在他的鉅著Disquisitiones Arithmeticae中，高斯猜想一個類數 h(-d) 的虛二次域，其二元二次型判別式為 -d，隨著 d 趨於無窮大而趨於無窮大。 Heilbronn (1934) 最終給出了證明，Siegel (1936) 表明對於任何 epsilon>0，存在一個常數 c_epsilon>0 使得

h(-d)>c_epsilond^(1/2-epsilon)

當 d->infty 時。然而，這些結果在實際確定給定 m 的基本判別式 -d 的值，使得 h(-d)=m 時，並非有效，這個問題被稱為高斯類數問題。

Goldfeld (1976) 證明了，如果存在一條“Weil 曲線”，其相關的狄利克雷 L 級數在 s=1 處至少有三階零點，那麼對於任何 epsilon>0，都存在一個可有效計算的常數 c_epsilon 使得

h(-d)>c_epsilon(lnd)^(1-epsilon).

Gross 和 Zaiger (1983) 證明了某些曲線必須滿足 Goldfeld 的條件，並且 Oesterlé (1985) 簡化了 Goldfeld 的證明。

參見

類數, 高斯類數問題, Heegner 數

使用 探索

參考文獻

Arno, S.; Robinson, M. L.; and Wheeler, F. S. "具有小奇類數的虛二次域。" http://www.math.uiuc.edu/Algebraic-Number-Theory/0009/.Böcherer, S. "高斯類數問題。" Mitt. Math. Ges. Hamburg 11, 565-589, 1988.Gauss, C. F. 算術研究。 New Haven, CT: Yale University Press, 1966.Goldfeld, D. M. "二次域的類數以及 Birch 和 Swinnerton-Dyer 的猜想。" Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 3, 623-663, 1976.Gross, B. and Zaiger, D. "Heegner 點和 L 函式的導數。" Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 297, 85-87, 1983.Heilbronn, H. "關於虛二次域的類數。" Quart. J. Math. Oxford Ser. 25, 150-160, 1934.Oesterlé, J. "虛二次域的類數。" Astérique 121-122, 309-323, 1985.Siegel, C. L. "關於二次數域的類數。" Acta. Arith. 1, 83-86, 1936.

在 中被引用

高斯類數猜想

引用為

Weisstein, Eric W. “高斯類數猜想。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GausssClassNumberConjecture.html

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