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等價度量

定義在空間 X上的兩個度量 g_1 和 g_2 被稱為等價的，如果它們在 X 上誘匯出相同的度量拓撲。情況是當且僅當，對於 X 的每個點 x_0，每一個以 x_0 為中心並關於 g_1 定義的球

B(x_0,r_1;g_1)={x in X|g_1(x_0,x)<r_1}
(1)

包含一個以 x_0 為中心並關於 g_2 定義的球

B(x_0,r_2;g_2)={x in X|g_2(x_0,x)<r_2},
(2)

反之亦然。

在 X 上的每個度量 g 都有不可數個等價度量。對於每個正實數 epsilon，可以定義一個“縮放”度量 g_epsilon，使得對於所有 x,y in X，

g_epsilon(x,y)=(g(x,y))/epsilon.
(3)

事實上，對於所有 x_0 in X

B(x_0,r;g)=B(x_0,r/epsilon;g_epsilon).
(4)

另一個與 g 等價的度量 g^' 由下式定義

g^'(x,y)=(g(x,y))/(1+g(x,y)),
(5)

對於所有 x,y in X。事實上，

B(x_0,r;g) subset= B(x_0,r;g^'),
(6)

和

B(x_0,r/(r+1);g^') subset= B(x_0,r;g).
(7)

在歐幾里得平面 R^2中，除了歐幾里得度量之外，還可以定義具有圓形球的度量

g((x_1,y_1),(x_2,y_2))=sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2),
(8)

對於所有正實數 a 和 b，可以定義一個等價的更一般的度量為

g_(a,b)((x_1,y_1),(x_2,y_2))=sqrt(((x_1-x_2)^2)/(a^2)+((y_1-y_2)^2)/(b^2)),
(9)

具有橢圓球，以及計程車度量

g_t((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|,
(10)

可以定義具有方形“球”。所有這些都等價於歐幾里得度量。

參見

度量，度量等價問題，乘積度量

此條目由 Margherita Barile 貢獻

使用 探索

請引用為

Barile, Margherita. "等價度量。" 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/EquivalentMetrics.html

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