對偶圖

給定一個平面圖 及其特定的平面嵌入，可以定義幾何對偶圖和組合對偶圖。 Whitney (1932) 證明了對於平面圖而言，它們是等價的（Fleischner 1973, Harary 1994. p. 115），因此人們可以說“該”對偶圖 。 上圖展示了從平面非多面體圖構造幾何對偶圖的過程，結果為一個多重圖。

雖然一些非多面體平面圖具有唯一的對偶圖，但一般的平面圖根據平面嵌入的選擇，可能具有多個對偶圖。一個平面圖具有唯一的嵌入（因此被稱為唯一可嵌入的），並且因此具有唯一的對偶圖，當且僅當它是多面體圖的圖細分。完全二部圖 是一個平面非多面體圖的例子，其所有嵌入都是同構的，這意味著它的對偶圖也是同構的，並且它是唯一可嵌入的。

另一方面，多面體圖具有唯一的對偶圖。 多面體圖 的對偶圖 具有圖頂點，每個頂點對應於 的一個面，並且其每個面對應於 的一個圖頂點。 中的兩個節點透過圖邊連線，如果 中對應的面具有共同的邊界圖邊。 因此，圖 的每條邊都有一條對應的對偶邊 在 中，對應於連線 兩側面的邊，這意味著邊計數是相同的。 結合面和頂點角色的互換，這給出了以下關係

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在對偶和原始圖的邊、面和頂點計數之間。 它們當然也滿足多面體公式

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輪圖的對偶圖本身也是一個輪圖（Skiena 1990, p. 147）。 一般來說，與其自身對偶的圖稱為自對偶圖。

對偶性的概念可以推廣到平面以外的嵌入，因此也推廣到非平面圖。 這與雙覆蓋的概念密切相關。

命名圖的圖對偶在 Wolfram 語言 中實現為GraphData[graph,"DualGraph"].

圖 的對偶圖 的Tutte 多項式由下式給出

(6)

即，透過交換原始圖的Tutte 多項式的變數。