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狄利克雷積分

有幾種型別的積分被稱為“狄利克雷積分”。 積分

D[u]=int_Omega|del u|^2dV
(1)

出現在 狄利克雷原理 中。

積分

1/(2pi)int_(-pi)^pif(x)(sin[(n+1/2)x])/(sin(1/2x))dx,
(2)

其中核是 狄利克雷核，給出 n 階部分和的 傅立葉級數。

另一個積分表示為

delta_k=1/piint_(-infty)^infty(sinalpha_krho_k)/(rho_k)e^(irho_kgamma_k)drho_k={0 for |gamma_k|>alpha_k; 1 for |gamma_k|<alpha_k
(3)

對於 k=1, ..., n。

有兩種型別的狄利克雷積分用字母 C, D, I, 和 J 表示。 第一類狄利克雷積分表示為 I, J, 和 IJ，第二類狄利克雷積分表示為 C, D, 和 CD。

第一類積分由下式給出

I=intint...intf(t_1+t_2+...+t_n)t_1^(alpha_1-1)t_2^(alpha_2-1)...t_n^(alpha_n-1)dt_1dt_2...dt_n
(4)
=(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2)...Gamma(alpha_n))/(Gamma(sum_(n)alpha_n))int_0^1f(tau)tau^((sum_(n)alpha)-1)dtau,
(5)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式。 在 n=2 的情況下，

I=intint_(T)x^py^qdxdy=(p!q!)/((p+q+2)!)=(B(p+1,q+1))/(p+q+2),
(6)

其中積分是在由 x 軸、y 軸和直線 x+y=1 邊界的 三角形 T 上進行，並且 B(x,y) 是 貝塔函式。

第二類積分對於 b-D 向量 a 和 r，以及 0<=c<=b 給出，

C_(a)^((b))(r,m)=(Gamma(m+R))/(Gamma(m)product_(i=1)^(b)Gamma(r_i))int_0^(a_1)...int_0^(a_b)(product_(i=1)^(b)x_i^(r_i-1)dx_i)/((1+sum_(i=1)^(b)x_i)^(m+R))
(7)
D_(a)^((b))(r,m)=(Gamma(m+R))/(Gamma(m)product_(i=1)^(b)Gamma(r_i))int_(a_1)^infty...int_(a_k)^infty(product_(i=1)^(b)x_i^(r_i-1)dx_i)/((1+sum_(i=1)^(b)x_i)^(m+R))
(8)
CD_(a)^((c,d-c))(r,m)=(Gamma(m+R))/(Gamma(m)product_(i=1)^(b)Gamma(r_i))int_0^(a_c)int_(a_(c+1))^inftyint_(a_b)^infty(product_(i=1)^(b)x_i^(r_i-1)dx_i)/((1+sum_(i=1)^(b)x_i)^(m+R)),
(9)

其中

R=sum_(i=1)^(k)r_i
(10)
a_i=(p_i)/(1-sum_(i=1)^(k)p_i),
(11)

並且 p_i 是單元機率。 對於相等的機率，a_i=1。 狄利克雷 D 積分可以展開為 多項級數，如下所示

D_(a)^((b))(r,m)=1/((1+sum_(i=1)^(b))^m)sum_(x_1<r_1)...sum_(x_b<r_b)(m-1+sum_(a=1)^(b)x_i; m-1,x_1,...,x_b) product_(i=1)b((a_i)/(1+sum_(k=1)^(b)a_k))^(x_i).
(12)

對於小的 b，C 和 D 可以針對一般引數和 a_i=1 進行部分或完全解析地表達。

C_1^((1))(r_2;r_1)=(Gamma(r_1+r_2)_2F_1(r_2,r_1+r_2;1+r_2;-1))/(r_2Gamma(r_1)Gamma(r_2))
(13)
C_1^((2))(r_2,r_3;r_1)=(Gamma(r_1+r_2+r_3))/(r_2Gamma(r_1)Gamma(r_2)Gamma(r_3))int_0^1_2F_1y^(r_3-1)(1+y)^(-(r_1+r_2+r_3))dy,
(14)

其中

_2F_1=_2F_1(r_2,r_1+r_2+r_3;1+r_2,-(1+y)^(-1))
(15)

是 超幾何函式。

D_1^((1))(r_2;r_1)=(Gamma(r_1+r_2)_2F_1(r_1,r_1+r_2;1+r_1;-1))/(r_1Gamma(r_1)Gamma(r_2))
(16)
D_1^((2))(r_2,r_3;r_1)=(Gamma(r_1+r_2+r_3))/((r_1+r_3)Gamma(r_1)Gamma(r_2)Gamma(r_3))int_1^infty_2F_1y^(r_3-1)dy,
(17)

其中

_2F_1=_2F_1(r_1+r_3,r_1+r_2+r_3;1+r_1+r_3;-1-y).
(18)

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參考文獻

Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "狄利克雷積分。" §15.08 in 數學物理方法，第 3 版。 英國劍橋：劍橋大學出版社，pp. 468-470, 1988.Sobel, M.; Uppuluri, R. R.; 和 Frankowski, K. 數學統計選表，第 4 卷：狄利克雷分佈 - 第 1 類。 普羅維登斯，羅德島州：美國數學學會，1977.Sobel, M.; Uppuluri, R. R.; 和 Frankowski, K. 數學統計選表，第 9 卷：第 2 類狄利克雷積分及其應用。 普羅維登斯，羅德島州：美國數學學會，1985.

在 中被引用

狄利克雷積分

請引用為

Weisstein, Eric W. "狄利克雷積分。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DirichletIntegrals.html

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