晶體學限制

如果平面上的離散群具有多個旋轉中心，那麼唯一可能發生的旋轉是 2、3、4 和 6 次旋轉。這可以如下所示。內角和除以邊數必須是 的約數。

其中 是一個整數。因此，對稱性只可能存在於

其中 是一個整數。 這適用於 1 倍、2 倍、3 倍、4 倍和 6 倍對稱。 注意到當 時，它不適用，因為 對應於 。 的情況要求 （不可能），而 的情況要求 （也是不可能的）。

滿足晶體學限制的點群稱為晶體學點群。

儘管在嚴格意義上的完美晶體學對稱性中，對於 不同於 2、3、4 和 6 的 n 倍旋轉是被禁止的，但存在一種稱為準晶體的奇異材料，它們表現出這些對稱性。 1984 年，D. Shechtman 發現了一類鋁合金，其 X 射線衍射圖顯示 5 倍對稱性。 由於這長期以來被認為是晶體學上禁止的，這最初引起了很大的震驚，直到後來人們才明白，存在一些材料，它們不是完全的晶體，但非常接近晶體，它們表現出實際晶體所禁止的對稱性。 許多已知的準晶體可以被認為是 Penrose 瓷磚產生的非週期性平鋪的三維類似物。