緊運算元

如果 和 是 Banach 空間 且 是有界線性運算元，則 被稱為緊運算元，如果它將 單位球 從 對映到 的相對緊子集（即 的具有緊閉包的子集）。

緊運算元的基本例子是無限 對角矩陣 ，其中 。該矩陣給出了有界對映 ，其中 是平方可積序列的集合。它是一個緊運算元，因為它是有限秩矩陣 的極限，這些矩陣與 具有相同的項，除了當 時 。也就是說， 只有有限多個非零項。

緊運算元的性質類似於有限維 線性變換 的性質。對於 希爾伯特空間，任何緊運算元 都是有限秩運算元序列 的極限，即 的像是 中的有限維子空間。然而，正如 Enflo (1973) 所證明的那樣，此性質在一般情況下不成立，他構造了一個 Banach 空間，該空間提供了一個反例，從而在否定意義上解決了 逼近問題。