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Cayley 六次曲線

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一條由麥克勞林發現但由凱萊首次詳細研究的平面曲線。Cayley 六次曲線這個名稱歸功於 R. C. 阿奇博爾德，他在 1900 年於斯特拉斯堡發表的一篇論文中試圖對曲線進行分類 (MacTutor Archive)。Cayley 六次曲線由極座標給出：

r=4acos^3(1/3theta).
(1)

笛卡爾方程為

-a^3x^3-48ax(x^2+y^2)^2+64(x^2+y^2)^3 -3a^2(x^2+y^2)(5x^2+9y^2)=0.
(2)

引數方程可以由下式給出：

x(t)=4acos^3(1/3t)cost
(3)
y(t)=4acos^3(1/3t)sint
(4)

對於 0<t<3pi。在此引數化中，環對應於 pi<t<2pi。

外邊界包圍的面積是

A=(5pi+9/2sqrt(3))a
(5)
=23.50219...a
(6)

(OEIS A118308)，內環包圍的面積是

A_(loop)=1/2(5pi-9sqrt(3))a^2
(7)
=0.05975299a^2...
(8)

(OEIS A118309)，整條曲線的弧長是

s=6pia.
(9)

弧長、曲率和切線角由下式給出：

s(t)=[2t+3sin(2/3t)]a
(10)
kappa(t)=(4sec^2(1/3t))/(3a),
(11)
phi(t)=4/3t.
(12)

另請參閱

Cayley 六次曲線漸屈線

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參考文獻

Gray, A. 使用 Mathematica 的曲線和曲面的現代微分幾何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 119-120, 1997.Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄。 New York: Dover, pp. 178 和 180, 1972.MacTutor History of Mathematics Archive. "Cayley 六次曲線。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cayleys.html.Sloane, N. J. A. 序列 A118308 和 A118309，來自“整數序列線上百科全書”。

請引用為

Weisstein, Eric W. “Cayley 六次曲線。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/CayleysSextic.html

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