卡邁克爾數

卡邁克爾數是一個奇 合數 ，它滿足費馬小定理

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對於 每個 滿足 (即， 和 是互素的) 的選擇，且滿足 。因此，卡邁克爾數是任何基的偽素數。因此，使用費馬小定理無法發現卡邁克爾數是合數。然而，如果 ，則費馬小定理的同餘式非零，從而將卡邁克爾數 識別為合數。

卡邁克爾數有時被稱為“絕對偽素數”，並且也滿足Korselt判據。R. D. Carmichael 在 1910 年首次注意到此類數字的存在，計算了 15 個例子，並推測存在無限多個。1956 年，Erdős 概述了一種構造大型卡邁克爾數的技術（Hoffman 1998, p. 183），Alford等人給出了證明。(1994)。

Lehmer totient問題的任何解都必須是卡邁克爾數。

前幾個卡邁克爾數是 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, ... (OEIS A002997)。小於 , , ... 的卡邁克爾數的數量是 0, 1, 7, 16, 43, 105, ... (OEIS A055553; Pinch 1993)。具有 3, 4, ... 個因子的最小卡邁克爾數是 , , 825265, 321197185, ... (OEIS A006931)。

卡邁克爾數至少有三個素因子。對於恰好有三個素因子的卡邁克爾數，一旦指定了一個素數，則只能構造有限數量的卡邁克爾數。實際上，對於有 個素因子的卡邁克爾數，只有有限個最小的 被指定。

形如 的數，如果每個因子都是素數，則為卡邁克爾數 (Korselt 1899, Ore 1988, Guy 1994)。可以看出，因為對於

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是 的倍數，並且 、 和 的最小公倍數是 ，所以 模每個素數 、 和 ，因此 模它們的乘積。前幾個這樣的卡邁克爾數對應於 , 6, 35, 45, 51, 55, 56, ... (OEIS A046025)，並且是 1729, 294409, 56052361, 118901521, ... (OEIS A033502)。

設 表示小於 的卡邁克爾數的數量。那麼，對於所有足夠大的 ，

(3)

(Alford等人 1994)，這證明了存在無限多個卡邁克爾數。上限

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也已得到證明 (R. G. E. Pinch)。

卡邁克爾數具有以下性質

1. 如果素數 整除卡邁克爾數 ，則 意味著 。

2. 每個卡邁克爾數都是無平方因子數。

3. 奇合數無平方因子數 是卡邁克爾數，當且僅當 整除分母 伯努利數 。

已知因子數最多的卡邁克爾數總結在下表中（從 Dubner 1989, 1998 更新）。