無憂伴侶

將“無憂伴侶”定義為一對正整數 ，使得 和 是互質的（即 ），並且 是無平方數的。類似地，將“強無憂伴侶”定義為一對 ，使得 且 和 均為無平方數；而“弱無憂伴侶”則定義為一對 ，使得 且 和 中至少一個為無平方數。

設 、、 和 分別為無平方數對、無憂伴侶、強無憂伴侶和弱無平方數伴侶的數量，其中 ，如上所示。

無平方數對 對於 , 2, ... 的數量為 1, 3, 7, 11, 19, 23, 35, 43, 55, ... (OEIS A018805)，其具有閉合形式

			(1)
			(2)

其中 是尤拉函式求和函式， 是向下取整函式，並且 是莫比烏斯函式。

無憂伴侶 對於 , 2, ... 的數量為 1, 3, 7, 9, 16, 20, 31, 35, 39, ... (OEIS A118258)；強無憂伴侶 的數量為 1, 3, 7, 7, 13, 17, 27, 27, ... (OEIS A118259)；以及弱無憂伴侶 的數量為 1, 3, 7, 11, 19, 23, 35, 43, 51, ... (OEIS A118260)。

那麼

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

其中，無憂常數和強無憂常數由下式給出

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)

(OEIS A065464, A065473, 和 A118261; Moree 2005)，其中 是黎曼zeta函式。