康托爾對角線法

康托爾對角線法，也稱為康托爾對角論證或康托爾的對角斜線，是格奧爾格·康托爾使用的一種巧妙技巧，用於證明整數和實數不能建立一一對應（即，不可數無限的實數集合比可數無限的整數集合“更大”）。然而，康托爾對角線法是完全通用的，適用於如下所述的任何集合。

給定任何集合，考慮由子集組成的冪集。康托爾對角線法可以用來證明比更大，即，存在從到的單射，但不存在雙射。找到單射是顯而易見的，正如透過考慮從到的函式可以看出，該函式將的元素對映到單元素集合。假設存在從到的雙射，並考慮子集，由元素組成，使得不包含。由於是雙射，所以必然存在一個元素，使得。但是根據的定義，集合包含當且僅當不包含。這會產生矛盾，因此不可能存在從到的雙射。

康托爾對角線法適用於任何集合，無論是有限的還是無限的。如果是基數為的有限集合，則的基數為，這比更大。如果是無限集合，則是更大的無限集合。特別地，實數的基數，可以證明它與同構，其中是自然數集，它比的基數更大。透過對同一個無限集合無限次地應用這個論證，可以獲得無限基數的無限層級。