頭條新聞

任意長的素數級數

作者：Eric W. Weisstein

2004年4月12日——素數（即諸如 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 等不能寫成更小正整數乘積的正整數）長期以來一直令數學家和非數學家著迷。素數在數學的許多領域也起著重要作用，包括數論和密碼學。因此，它們被廣泛研究，並且對其性質瞭解甚多。

例如，希臘數學家和幾何學家歐幾里得（約公元前 325 年 - 約公元前 270 年）提出了一個優美的證明（現在被稱為歐幾里得第二定理），證明素數的數量是無限的。然而，在 1896 年 Hadamard 和 de la Vallée Poussin 獨立證明了所謂的素數定理（一個給出了小於某個給定數的素數的漸近數量的公式的基本結果）之前，已經過去了兩個千年多的時間。

雖然對素數了解甚多，但也仍然存在許多未知之處。例如，尚不清楚是否存在無限數量的所謂孿生素數，它們是 (p, p + 2) 形式的素數對。另一個尚未解答的問題是，是否存在任意給定長度的素數等差數列。

在數學中，等差數列是一組等間距的數字。例如，1、5、9、13、17 是公差為 4 的等差數列。類似地，素數等差數列是所有數字都是素數的等差數列。例如，199、409、619、829、1039、1249、1459、1669、1879、2089 是公差為 210 的 10 項素數等差數列。已知的素數等差數列的最大項數為 22，由序列 11,410,337,850,553 + 4,609,098,694,200k (Pritchard 等人，1993 年) 和 376,859,931,192,959 + 18,549,279,769,020k (Frind，2003 年) 對於 k = 0, 1, ..., 21 實現。

早在 1770 年，拉格朗日和沃林就研究了 n 個素數的等差數列的公差必須有多大。1923 年，哈代和小伍德提出了一個非常普遍的猜想，稱為k 元組猜想，關於所謂的素數星座的分佈，其中包括存在任意長度 k 的素數等差數列的假設。範德科爾普特 (1939 年) 和希思-布朗 (1981 年) 隨後取得了重要的額外理論進展。

儘管付出了所有這些努力，但任意長度 k 的素數級數的普遍結果仍然是一個懸而未決的猜想 (Guy 1994, p. 15)。現在，由於 Ben Green 和 Terence Tao 的新工作，這個猜想似乎終於得到了肯定的解決。在最近發表的預印本中，Green 和 Tao (2004 年) 使用了一個重要的結果，即塞邁雷迪定理（該定理指出，每個具有正密度的整數序列都包含任意長的等差數列），結合 Goldston 和 Yildirim 最近的工作，一個巧妙的“轉移原則”，以及 48 頁密集而技術性的數學內容，似乎確立了素數確實包含所有 k 長度的等差數列的基本定理。

應該指出的是，Green 和 Tao 的工作是非構造性證明，這意味著雖然它似乎確立了任意給定長度 k 的素數等差數列的存在性，但它實際上無法產生一個具體的例子。因此，關於這個問題的最後一章仍然沒有寫完，儘管似乎可以肯定，顯式地構造給定長度的素數級數比理論上證明它們的存在性這一已經很困難的任務還要難。