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龐加萊猜想據稱已獲證明

作者：Eric W. Weisstein

2002 年 4 月 9 日——數學中一個著名的未證明猜想指出，每個單連通閉三維流形都同胚於 3 維球面。這個猜想最初由 H. Poincaré 於 1904 年提出（Poincaré 1953，第 486 頁和 498 頁），隨後被推廣為猜想：每個緊 n-維流形同倫等價於 n 維球面，當且僅當它同胚於 n 維球面。這個廣義陳述被稱為龐加萊猜想，當 n = 3 時，它就簡化為最初的猜想。

廣義猜想的 n = 1 情況是微不足道的，n = 2 情況是經典的，n = 3 仍然是開放的，n = 4 由 Freedman 在 1982 年證明（為此他獲得了 1986 年菲爾茲獎），n = 5 由 Zeeman 在 1961 年證明，n = 6 由 Stallings 在 1962 年證明，n ≥ 7 由 Smale 在 1961 年證明。（Smale 隨後擴充套件了他的證明以包括 n ≥ 5。）

克雷數學研究所將該猜想列入其百萬美元獎金難題清單。2002 年 4 月，M. J. Dunwoody 發表了一篇五頁的論文，聲稱證明了該猜想。然而，根據克雷研究所的規則，該論文必須經過兩年的學術審查才能領取獎金。截至撰寫本文時，尚不清楚 Dunwoody 的證明是否能持續哪怕是這段時間的一小部分。

後記：請參閱“龐加萊猜想獲證——這次是真的”以瞭解更多最新結果