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一百美元的挑戰

作者： Eric W. Weisstein

2002年2月4日——2002年1/2月刊的 SIAM News 雜誌刊登了一個有趣的讀者挑戰。尼克·特雷費森在其中提出了10個計算問題，每個問題的答案都是一個實數。作者為在2002年5月20日之前計算出最多正確位數的人或團隊提供了100美元的獎勵。評分標準是每位正確數字得1分，每個問題最多得10分。

百美元百位數字挑戰難題 的主題範圍從 數值積分 到 全域性最小化 再到 隨機遊走 的解法。

完整列表可以以 PDF 格式下載，並且為了方便起見，在中以及下方也進行了轉載。解答應傳送至 lnt@comlab.ox.ac.uk。

1. 是什麼 $\lim_{\epsilon\to 0} \int_\epsilon^1 x^{-1}\cos(x^{-1}\ln x)\,dx$?

2. 一個光子在 $x$-$y$ 平面內以速度 1 運動，在 $t = 0$ 時從 $(x,y) = (0.5, 0.1)$ 出發，方向正東。在平面內的每個整數格點 $(i, j)$ 周圍，都豎立著半徑為 $1/3$ 的圓形鏡子。光子在 $t = 10$ 時離原點有多遠？

3. 無限矩陣 $\mathsf{A}$ 的元素為 $a_{11} = 1$, $a_{12} = 1/2$, $a_{21} = 1/3$, $a_{13} = 1/4$, $a_{22} = 1/5$, $a_{31} = 1/6$ 等等，是 $\ell^2$ 上的有界運算元。 是什麼 $\Vert\mathsf{A}\Vert$?

4. 函式的全域性最小值是什麼

\begin{displaymath}\mathop{\rm exp}\nolimits (\sin(50x)) + \sin(60e^y) + \sin(70... ...\sin(80y)) - \sin(10(x + y)) + {\textstyle{1\over 4}}(x^2+y^2)?\end{displaymath}

5. 設 $f(z)=1/\Gamma(z)$，其中 $\Gamma(z)$ 是 伽瑪函式，令 $p(z)$ 為在 單位圓盤 上以 上確界範數 $\Vert\cdot\Vert _\infty$ 最佳逼近 $f(z)$ 的 三次多項式 $\Vert f-p\Vert _\infty$?

6. 一隻跳蚤從無限二維整數格點上的 $(0, 0)$ 出發，進行有偏 隨機遊走：每一步，它以 1/4 的機率向北或向南跳躍，以機率 $1/4 + \epsilon$ 向東跳躍，並以機率 $1/4 - \epsilon$ 向西跳躍。跳蚤在其遊蕩過程中某次返回 $(0, 0)$ 的機率為 1/2。 是多少 $\epsilon$？

7. 令 $\mathsf{A}$ 為 $20{,}000\times 20{,}000$ 矩陣，除了主 對角線 上的素數 2, 3, 5, 7, ..., 224737 和所有位置 $a_{ij}$ 且 $\vert i-j\vert = 1$, 2, 4, 8, ..., 16384 的數字 1 之外，其他位置的元素均為零。 是 $\mathsf{A}^{-1}$?

8. 一塊正方形板 $[-1, 1]\times [-1, 1]$ 的溫度為 $u = 0$。在時間 $t = 0$ 時，其中一條邊的溫度升高到 $u = 5$，而其他三條邊保持在 u = 0，然後熱量根據以下公式流入板中 $u_t = \Delta u$。當板中心溫度達到 $u = 1$ 時，時間是多少？

9. 積分 $I(\alpha)=\int_0^2 [2 + \sin(10\alpha)]x^\alpha \sin(\alpha/(2- x))\,dx$ 取決於引數 $\alpha$。在哪個值 $\alpha\in[0, 5]$ 時，$I(\alpha)$ 達到最大值？

10. 位於 $10\times 1$ 矩形 中心的一個粒子進行布朗運動（即，步長無限小的二維隨機遊走），直到它到達邊界。它在端點而不是側邊擊中的機率是多少？

參考文獻

Trefethen, N. "A Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge." http://www.siam.org/siamnews/01-02/challenge.pdf