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沃羅寧普遍性定理

沃羅寧 (1975) 證明了 黎曼 zeta 函式 zeta(s) 的顯著分析性質，粗略地說，任何非零 解析函式 都可以透過 zeta 函式在 臨界帶 中的某些純虛位移來一致逼近。

更精確地說，設 0<r<1/4 並假設 g(s) 是圓盤 |s|<=r 上的非零 連續函式，且在內部解析。那麼對於任何 epsilon>0，存在一個正實數 tau 使得

max_(|s|<=r)|zeta(s+3/4+itau)-g(s)|<epsilon.

此外，這些 tau 的集合具有正下密度，即，

liminf_(T->infty)1/Tmeas{tau in [0,T]:max_(|s|<=r)|zeta(s+3/4+itau)-g(s)|<epsilon} >0.

Garunkštis (2003) 獲得了第一個逼近 tau 和正下密度的顯式估計，前提是 r 足夠小且 g(s) 足夠平滑。 g(s) 在 |s|<=r 上沒有零點的條件是必要的。

已知黎曼猜想為真，當且僅當 zeta(s) 可以按照沃羅寧定理的意義一致逼近自身 (Bohr 1922, Bagchi 1987)。 也已知存在大量的 狄利克雷級數，具有此種或類似的普遍性性質 (Karatsuba 1992, Laurinčikas 1996, Matsumoto 2001)。

另請參閱

黎曼猜想, 黎曼 Zeta 函式

本條目由 Joern Steuding 貢獻

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參考文獻

Bagchi, B. "Recurrence in Topological Dynamics and the Riemann Hypothesis." Acta Math. Hungar. 50, 227-240, 1987.Bohr, H. "Über eine Quasi-Periodische Eigenschaft Dirichletscher Reihen mit Anwendung auf die Dirichletschen L-Funktionen." Math. Ann. 85, 115-122, 1922.Garunkštis, R. "The Effective Universality Theorem for the Riemann Zeta Function." Bonner math. Schriften 360, 2003.Karatsuba, A. A. and Voronin, S. M. The Riemann Zeta-Function. Hawthorn, NY: de Gruyter, 1992.Laurinčikas, A. Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1996.Matsumoto, K. "Probabilistic Value-Distribution Theory of Zeta Functions." Sugaku 53, 279-296, 2001. Reprinted in Sugaku Expositions 17, 51-71, 2004.Voronin, S. M. "Theorem on the Universality of the Riemann Zeta Function." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. 39, 475-486, 1975. Reprinted in Math. USSR Izv. 9, 443-445, 1975.

在 中被引用

沃羅寧普遍性定理

請引用為

Steuding, Joern. “沃羅寧普遍性定理。” 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/VoroninUniversalityTheorem.html

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