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DodecahedronUnfolding

展開是指沿著稜切割並展平多面體以形成網格。確定如何將多面體展開成網格是很棘手的。例如，不能沿著圍繞面的所有稜進行切割，否則面將完全分離。此外，對於沒有共面面的多面體，必須從每個頂點至少切割一條稜，否則多面體將無法展平。事實上，必須切割的稜對應於一種特殊的圖，稱為骨架的多面體的生成樹 (Malkevitch)。

UnfoldingCube
UnfoldingTetrahedron

1987年，K. Fukuda 推測，凸多面體都不允許自重疊展開。上面的頂圖顯示了 M. Namiki 發現的對該推測的反例。隨後也發現了可展開的四面體（上面的底圖）。G. Valette 也發現了另一個允許重疊展開的非正則凸多面體（在 Buekenhout 和 Parker 1998 年中展示）。

UnfoldingNet
Unfolding1
Unfolding2

由相同的網格構造不同的多面體的例子並不難構造，但 Fukuda 推測每個凸多面體都可以從其任何展開圖中唯一地構造出來。上面顯示的反例是由 T. Matsui 發現的。

關於每個凸多面體是否允許自非重疊展開（Shephard 1975）的問題仍然未解決 (Malkevitch)。Shephard 猜想指出（並且大多數數學家相信）答案是肯定的。

也可以考慮沿多面體稜以外的其他路徑進行切割。例如，星形展開是一種透過沿其表面上的最短路徑切割來展開多面體的方法。Aronov 和 Rourke (1992) 證明，每個凸三維多面體都有一個星形展開 (Malkevitch)。

另請參閱

網格, 多面體, Shephard 猜想, 骨架

在 中探索

參考文獻

Agarwal, P.; Aronov, B.; O'Rourke, J.; and Schevon, C. "星形多面體展開及其應用。" SIAM J. Comput. 26, 1689-1713, 1997.Aronov, B. and O'Rourke, J. "星形展開的非重疊性。" Disc. Comput. Geom. 8, 219-250, 1992.Biedl, T.; Demaine, E.; Demaine, M.; Lubiw, A.; O'Rourke, J.; Overmars, M.; Robbins, S.; and Whitesides, S. "展開一些正交多面體類。" In Proc. 10th Canadian Conference on Computational Geometry, pp. 70-71, 1998.Bern, M.; Demaine, E. D.; Eppstein, D.; and Kuo, E. "不可展開的多面體。" Proc. 11th Canadian Conference on Computational Geometry, pp. 13-16, 1999. 1999 年 8 月 3 日的預印本可從 http://arxiv.org/abs/cs.CG/9908003 獲取。Bouzette, S.; Buekenhout, F.; Dony, E.; and Gottcheiner, A. "與關聯幾何相關的多面體和多胞形的展開理論。" Designs, Codes and Cryptography 10, 115-136, 1997.Buekenhout, F. and Parker, M. "正則凸多胞形在維度 <=4 中的網格數。" Disc. Math. 186, 69-94, 1998.Eppstein, D. "展開的多面體。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/unfold.html.Erickson, J. "展開凸多胞形。" http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/open/unfold.html.Fukuda, K. "凸多胞形的奇異展開。" http://www.ifor.math.ethz.ch/~fukuda/unfold_home/unfold_open.html. Fukuda, K. UnfoldPolytope Mathematica 程式包。 http://www.cs.mcgill.ca/~fukuda/download/mathematica/.Lubiw, A. and O'Rourke, J. "何時可以將多邊形摺疊成多胞形？" Technical Report 48, Department of Computer Science, Smith College, June, 1996.Malkevitch, J. "網格：用於二維表示多面體的工具。" http://www.ams.org/new-in-math/cover/nets.html.Malkevitch, J. "展開多面體。" http://www.york.cuny.edu/~malk/unfolding.html.Malkevitch, J. "幾何學與剪刀。" La Recherche. No. 346, Oct. 2001. http://www.larecherche.fr/special/web/web346.html. Namiki, M.; Matsui, T.; and Fukuda, K. "具有不良展開的 3-多面體。" In UnfoldPolytope Mathematica 程式包。 1993. http://www.cs.mcgill.ca/~fukuda/download/mathematica/.O'Rourke, J. "計算幾何中的摺疊和展開。" In Proc. Japan Conference on Discrete and Computational Geometry 1998. Heidelberg, Germany: Springer-Verlag, pp. 258-266, 2000.Schevon, C. and O'Rourke, J. "關於隨機展開的猜想。" Technical Report JHU-87/20, John Hopkins University, Baltimore, 1987.Shephard, G. C. "具有凸網格的凸多胞形。" Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 78, 389-403, 1975.Tarasov, A. "沒有自然展開的多面體。" Russian Math. Surveys 54, 656-657, 1999.

在 上被引用

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請引用本文為

Weisstein, Eric W. "展開。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Unfolding.html

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