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西爾維斯特序列

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由 e_0=2 和 二次遞推方程 定義的序列

e_n=1+product_(i=0)^(n-1)e_i=e_(n-1)^2-e_(n-1)+1.
(1)

此序列出現在歐幾里得證明存在無限個素數的證明中。該證明透過使用遞推關係構造素數序列來推進

e_(n+1)=e_0e_1...e_n+1
(2)

(Vardi 1991)。令人驚訝的是，存在一個常數

E=1/2sqrt(6)exp{sum_(j=1)^infty2^(-j-1)ln[1+(2e_j-1)^(-2)]}=1.2640847353...
(3)

(OEIS A076393) 使得

e_n=|_E^(2^(n+1))+1/2_|
(4)

(Aho and Sloane 1973, Vardi 1991, Graham et al. 1994)。西爾維斯特序列中的前幾個數字是 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, ... (OEIS A000058)。e_n 滿足

sum_(n=0)^infty1/(e_n)=1.
(5)

此外，如果 0<x<1 是一個無理數，那麼用於表示 x 的單位分數無窮和的第 n 項，當使用貪婪演算法計算時，必須小於 1/e_n。

前幾個素數 e_n 的 n 是 0, 1, 2, 3, 5, ...，對應於 2, 3, 7, 43, 3263443, ... (OEIS A014546)。Vardi (1991) 給出了 e_n 小於 5×10^7 的因子列表，對於 n<=200，並表明對於 6<=n<=17，e_n 是合數。此外，西爾維斯特序列中小於 2.5×10^(15) 的所有數字都是無平方數，並且在該序列中沒有已知的平方數 (Vardi 1991)。

亦見

卡亨常數, 歐幾里得定理, 貪婪演算法, 二次遞推方程, 無平方數, 平方數

使用 探索

參考文獻

Aho, A. V. and Sloane, N. J. A. "Some Doubly Exponential Sequences." Fib. Quart. 11, 429-437, 1973.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Research problem 4.65 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A000058/M0865, A014546, and A076393 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Finch, S. R. "Quadratic Recurrence Constants." §6.10 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 443-448, 2003.Vardi, I. "Are All Euclid Numbers Squarefree?" and "PowerMod to the Rescue." §5.1 and 5.2 in Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 82-89, 1991.

在 上被引用

西爾維斯特序列

請引用為

Weisstein, Eric W. "西爾維斯特序列。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/SylvestersSequence.html

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