施圖姆函式

給定函式 ，記 並透過下式定義施圖姆函式

(1)

其中 是多項式商。然後構造以下施圖姆函式鏈，

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被稱為 施圖姆鏈。當獲得常數 時，鏈終止。

施圖姆函式為求代數方程在給定區間內實根的數量提供了一種便捷的方法。具體來說，在兩個點 和 處評估的施圖姆函式之間的符號變化數之差，給出了區間 內的實根數。這個強大的結果被稱為 施圖姆定理。然而，當數值應用該方法時，在計算多項式商時必須小心，以避免由於舍入誤差而產生虛假結果。

作為施圖姆函式在尋找 多項式 根 的一個具體應用，考慮函式 ，如上圖所示，它有根 、 、 和 1.38879（其中三個是實數）。導數 由 給出，然後 施圖姆鏈 由下式給出

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			(8)
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下表顯示了 的符號和為間隔 分隔的點獲得的符號變化數 。

		1		1	3
0			1	1	1
2	1	1	1	1	0

這表明 個實根位於 中，並且 個實根位於 中。將間隔減小到 得到下表。

		1		1	3
		1		1	3
	1	1		1	2
	1			1	2
0.0			1	1	1
0.5			1	1	1
1.0		1	1	1	1
1.5	1	1	1	1	0
2.0	1	1	1	1	0

該表隔離了三個實根，並表明它們位於區間 、 和 中。如果需要，可以進一步縮小根所在的區間。

施圖姆函式滿足以下條件

1. 在區間內的任何點，兩個相鄰的函式不會同時消失。

2. 在施圖姆函式的零點，其兩個相鄰函式具有不同的符號。

3. 在 的零點周圍的足夠小區間內， 處處大於零或處處小於零。