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第一類謝爾賓斯基數

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第一類謝爾賓斯基數是形如 的 S_n=n^n+1 數。前幾個是 2, 5, 28, 257, 3126, 46657, 823544, 16777217, ... (OEIS A014566)。謝爾賓斯基證明了，如果 S_n 是 素數 且 n>=2, 那麼 n 必須是 n=2^(2^k) 的形式，使得 S_n 成為 費馬數 F_m，其中 m=k+2^k。前幾個這種形式的 m 是 1, 3, 6, 11, 20, 37, 70, ... (OEIS A006127)。

數 S_k 的位數由下式給出：

d_k=[2^(k+2^k)log_(10)2],

其中 [z] 是 ceil 函式，因此前幾個候選數的位數是 1, 3, 20, 617, 315653, 41373247568, ... (OEIS A089943)。

目前已知的第一類謝爾賓斯基素數只有 2, 5, 257，第一個未知情況是 F_(70)>10^(3×10^(20))。下表總結了謝爾賓斯基數的狀態 (Nielsen)。

kmF_m=S(n) 的狀態
01素數 (S_n=5)
13素數 (S_n=257)
26合數，因子為 1071·2^8+1
311合數，因子為 39·2^(13)+1
420合數，因子未知
537合數，因子為 1275438465·2^(39)+1
670未知
7135未知
8264未知
9521未知
101034未知
112059合數，因子為 591909·2^(2063)+1
124108未知
138205未知
1416398未知
1532783未知
1665552未知
17131089未知

另請參閱

庫倫數, 康寧漢數, 費馬數, 第二類謝爾賓斯基數, 伍德爾數

使用 探索

參考文獻

Keller, W. "費馬數的因子和形如 k·2^n+1 的大素數." Math. Comput. 41, 661-673, 1983.Keller, W. "費馬數的因子和形如 k·2^n+1, II." In prep.Keller, W. "費馬數 F_m 的素因子 k·2^n+1 和完全分解狀態." http://www.prothsearch.net/fermat.html.Madachy, J. S. 馬達奇的數學娛樂. New York: Dover, p. 155, 1979.Nielsen, J. S. "n^n+1。" http://jeppesn.dk/nton.html.Ribenboim, P. 新素數記錄之書. New York: Springer-Verlag, p. 74, 1989.Sloane, N. J. A. “整數數列線上百科全書” 中的數列 A006127/M2547, A014566, A089943。

在 中被引用

第一類謝爾賓斯基數

引用為

Weisstein, Eric W. “第一類謝爾賓斯基數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SierpinskiNumberoftheFirstKind.html

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