Ramsey數 
，有時也記為 
(例如，Mattheus 和 Verstraete 2023)，給出了 聚會問題 的解，該問題詢問必須邀請的最少客人數量 
，以便至少有 
個人彼此認識，或者至少有 
個人彼此不認識。用 圖論 的語言來說，Ramsey 數是最小的頂點數 
，使得所有階為 
的無向簡單圖都包含一個階為 
的 團 或 一個階為 
的 獨立集 (即，具有 團數 
或 獨立數 
)。Ramsey 定理 表明，對於所有 
和 
，這樣的數是存在的。
根據對稱性，以下等式成立：
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(1)
|
以下等式也必然成立：
 |
(2)
|
廣義 Ramsey 數可以寫成：
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(3)
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並且是最小的 整數 
，使得無論如何用 
種顏色對一個 
元素 集合 的每個 
元素 子集 進行著色，都存在一個 
，使得存在一個大小為 
的 子集，其所有 
元素 子集 都是顏色 
。通常的 Ramsey 數則等價於 
。
邊界由下式給出：
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(4)
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和
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(5)
|
(Chung 和 Grinstead 1983)。Erdős 證明了對於對角 Ramsey 數 
，
 |
(6)
|
Spencer (1975) 隨後將此結果改進了 2 倍。
自 1980 年以來已知其上限為 
，Griggs (1983) 表明 
是一個可接受的極限。J.-H. Kim (Cipra 1995) 隨後將 
的下限也限制在一個類似的表示式中，因此
 |
(7)
|
Burr (1983) 給出了邊數不超過 6 且沒有孤立點的所有 113 個圖的 Ramsey 數。
Mattheus 和 Verstraete (2023) 證明了
 |
(8)
|
當 
時，其中 
是 大 O 表示法。這確定了 
，誤差在一個 
階的因子內。
Chung 和 Grinstead (1983) 總結了截至 1983 年關於 
的已知結果。Radziszowski (2021) 維護著當前最佳邊界的最新列表。下面總結了已知精確值的數。
 |  |  | 參考文獻 |
| 3 | 3 | 6 | Greenwood 和 Gleason (1955) |
| 3 | 4 | 9 | Greenwood 和 Gleason (1955) |
| 3 | 5 | 14 | Greenwood 和 Gleason (1955) |
| 3 | 6 | 18 | Graver 和 Yackel (1968) |
| 3 | 7 | 23 | Kalbfleisch (1966) |
| 3 | 8 | 28 | McKay 和 Min (1992) |
| 3 | 9 | 36 | Grinstead 和 Roberts 1982 |
| 4 | 4 | 18 | Greenwood 和 Gleason (1955) |
| 4 | 5 | 25 | McKay 和 Radziszowski (1995) |
Exoo (1989) 證明了 
，Angeltveit 和 McKay (2024) 證明了 
，由此確定了
 |
(9)
|
。” 2024 年 9 月 24 日。 
." J. Combin. Th. Ser. B 13, 168-169, 1972.Burr, S. A. "圖的廣義 Ramsey 理論--綜述。" 收錄於 Graphs and Combinatorics (Ed. R. A. Bari 和 F. Harary)。紐約: Springer-Verlag, pp. 52-75, 1974.Burr, S. A. "小圖的對角 Ramsey 數。" J. Graph Th. 7, 57-69, 1983.Burr, S. A.; Erdős, P.; Faudree, R. J.; 和 Schelp, R. H. "連續 Ramsey 數之間的差值。" Util. Math. 35, 115-118, 1989.Chartrand, G. "古怪主人的問題：Ramsey 數導論。" §5.1 收錄於 
。" Discrete Math. 5, 317-321, 1973.Chung, F. 和 Grinstead, C. G. "經典 Ramsey 數的邊界綜述。" J. Graph. Th. 7, 25-37, 1983.Cipra, B. "Asymptopia 之旅揭示了集合結構的奧秘。" Science 267, 964-965, 1995.Exoo, G. "將最佳化演算法應用於 Ramsey 問題。" 收錄於 
的下界。" J. Graph Th. 13, 97-98, 1989.Exoo, G. "關於 
形式的兩個經典 Ramsey 數。" SIAM J. Discrete Math. 2, 488-490, 1989c.Exoo, G. "公告：關於 Ramsey 數 
, 
和 
。" Ars Combin. 35, 85, 1993.Exoo, G. "Schur 數和 
的多色 Ramsey 數的下界。" Electronic J. Combinatorics 1, No. 1, R8, 1-3, 1994. 
-群在圖論中的一些應用。" 預印本。2002.Folkmann, J. "關於 Ramsey 數 
的註釋。" J. Combinat. Theory. Ser. A 16, 371-379, 1974.Fredricksen, H. "Schur 數和 Ramsey 數 
。" J. Combin. Theory Ser. A 27, 376-377, 1979.Gardner, M. "數學遊戲：用線連線點集，引出各種（且有趣的）路徑。" Sci. Amer. 237, 18-28, 1977.Gardner, M. 
的上限。" J. Comb. Th. A 35, 145-153, 1983.Grinstead, C. M. 和 Roberts, S. M. "關於 Ramsey 數 
和 
。" J. Combinat. Th. Ser. B 33, 27-51, 1982.Guldan, F. 和 Tomasta, P. "一些對角 Ramsey 數的新下界。" J. Graph. Th. 7, 149-151, 1983.Haanpää, H. "Ramsey 數的下界。" Congr. Numer. 144, 189-191, 2000.Hanson, D. "無和集和 Ramsey 數。" Discrete Math. 14, 57-61, 1976.Harary, F. "圖的廣義 Ramsey 理論的最新結果。" 收錄於 
的新下界。" Guangxi Sci. 7, 120-121, 2000.Mackey, J. 組合補救措施。 博士論文。夏威夷大學數學系，1994 年。Mathon, R. "Ramsey 數和結合方案的下界。" J. Combin. Th. Ser. B 42, 122-127, 1987.Mattheus, S. 和 Verstraete, J. "
的漸近性。" 
的值。" J. Graph Th. 16, 99-105, 1992.McKay, B. D. 和 Radziszowski, S. P. "
。" J. Graph. Th 19, 309-322, 1995.Piwakowski, K. "應用禁忌搜尋確定新的 Ramsey 數。" Electronic J. Combinatorics 3, No. 1, R6, 1-4, 1996. 
的上限。" J. Combinat. Math. Combin. Comput. 4, 207-212, 1988b.Robertson, A. "一些多色 Ramsey 數的新下界。" Electronic J. Combinatorics 6, No. 1, R3, 1-6, 1999. 
, 
, 和 
的新下界。" Chinese Sci. Bull. 43, 528, 1998.Su, W.; Luo, H.; Zhang, Z.; 和 Li, G. "十五個經典 Ramsey 數的新下界。" Australasian J. Combin. 19, 91-99, 1999.Wang, Q. 和 Wang, G. "Ramsey 數 
的新下界。" Beijing Daxue Xuebao 25, 117-121, 1989.Wang, Q.; Wang, G.; 和 Yan, S. "Ramsey 數 
的搜尋演算法和新下界。" 預印本。1994.Whitehead, E. G. "Ramsey 數 
。" Discrete Math. 4, 389-396, 1973.Xiaodong, X. 和 Zheng, X. "Ramsey 數 
下界的構造性方法。" 未發表的手稿，2002 年。Xiaodong, X.; Zheng, X.; Exoo, G.; 和 Radziszowski, S. P. "經典多色 Ramsey 數的構造性下界。" Elec. J. Combin. 11, 2004.