量子隨機微積分 -- 來自

設 $B_t={B_t(omega)/omega in Omega}$ , , 為一維布朗運動。關於的積分由伊藤 (Itô) (1951) 定義。該理論的一個基本結果是，隨機積分方程的形式為

(1)

可以解釋為隨機微分方程的形式

(2)

其中微分使用伊藤公式處理

			(3)
			(4)

Hudson 和 Parthasarathy (1984) 獲得了布朗運動和泊松過程的福克空間表示。玻色子福克空間在上是指數向量在希爾伯特空間中的線性跨度的完備化，其內積為

(5)

其中和和是的複共軛。

湮滅算符、創生算符和守恆算符 , 和分別在的指數向量上定義如下，

			(6)
			(7)
			(8)

基本量子隨機微分 , , 和定義如下，

			(9)
			(10)
			(11)

Hudson 和 Parthasarathy (1984) 定義了關於定義 3 的噪聲微分的隨機積分，並獲得了伊藤乘法表

Hudson-Parthasarathy 量子隨機微積分的兩個基本定理給出了用普通勒貝格積分表示量子隨機積分的矩陣元素的公式。第一個定理指出

M(t)=int_0^tE(s)dLambda(s)+F(s)dA(s)
+G(s)dA^|(s)+H(s)ds,

(12)

其中 , , , 是（通常）時間相關的適應過程。設和在的指數域中，則

<u tensor psi(f),M(t)v tensor psi(g)>
=int_0^t<u tensor psi(f),(f^_(s)g(s)E(s)
+g(s)F(s)+f^_(s)G(s)+H(s))v tensor psi(g)>ds

(13)

第二個定理指出，如果

(14)

和

(15)

其中 , , , , , , , 是（通常）時間相關的適應過程，並且和在的指數域中，則

$<M(t)u tensor psi(f),M^'(t)v tensor psi(g)>int_0^t{<M(s)u tensor psi(f),[f^_(s)g(s)E^'(s)+g(s)F^'(s)+f^_(s)G^'(s)+H^'(s)]v tensor psi(g)>+<[g^_(s)f(s)E(s)+f(s)F(s)+g^_(s)G(s)+H(s)]u tensor psi(f),M^'(s)v tensor psi(g)>+<[f(s)E(s)+G(s)]u tensor psi(f),[g(s)E^'(s)+G^'(s)]v tensor psi(g)>}ds.$

(16)

連線經典隨機過程與量子隨機過程的基本結果是，由下式定義的過程和

(17)

和

(18)

透過它們的統計性質（例如，它們的真空特徵泛函）來識別，

(19)

和

(20)

分別與布朗運動和強度為的泊松過程相同。

在 Hudson-Parthasarathy 量子隨機微積分的框架內，經典量子力學演化方程採用以下形式

			(21)
			(22)

其中，對於每個 , 是在系統希爾伯特空間和噪聲（或儲層）福克空間的張量積上定義的酉算符。這裡，, , 在中，上有界線性算符的空間，其中是酉的，是自伴的。請注意，對於，方程 (21) 簡化為形式 (2) 的經典隨機微分方程。在此以及接下來的內容中，我們將時間無關的、有界的系統空間算符與它們在上的擴充套件相同看待。