五邊形平方三角形數是同時為五邊形數 
、平方數 
和三角形數 
的數。這需要求解丟番圖方程組。
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可以透過檢查五邊形三角形數（對於這種數存在閉式解）直到某個上限，來搜尋該系統的解，以檢視是否有任何數也是平方數。除了平凡的情況
之外，使用這種方法表明，前 9690 個五邊形三角形數都不是平方數，因此表明不存在小於
的其他五邊形平方三角形數（E. W. Weisstein，9 月 12 日，2003 年）。
因此，幾乎可以肯定不存在其他解，儘管這一事實的證明似乎尚未在印刷品中出現。然而，J. Sillcox（私人通訊，2003 年 11 月 8 日和 2006 年 2 月 17 日）最近的工作可能最終解決了這個問題。這項工作使用了 Anglin（1996）的一篇論文，該論文證明了同時佩爾方程 
在 
的情況下恰好有 19900 個解。例如，如果 
且 
，則 
是一個解。然後 Sillcox 表明，五邊形平方三角形數問題等價於求解 
，使其在 Anglin 證明的範圍內。對於 
和 
，僅存在平凡解。
