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林德伯格條件

關於 充分 條件，針對 林德伯格-費勒中心極限定理。 給定隨機變數 X_1, X_2, ..., 設 <X_i>=0, 方差 sigma_i^2 of X_i 是有限的, 且由 方差 組成的分佈是 X_is 的總和

S_n=X_1+X_2+...+X_n
(1)

是

s_n^2=sum_(i=1)^nsigma_i^2.
(2)

在 Zabell (1995) 的術語中，設

Lambda_n(epsilon)=sum_(k=1)^n<((X_k)/(s_n))^2:(|X_k|)/(s_n)>=epsilon>,
(3)

其中 <f:g> 表示 期望值 f 限制在結果 g, 那麼林德伯格條件是

lim_(n->infty)Lambda_n(epsilon)=0
(4)

對於所有 epsilon>0 (Zabell 1995)。

在 Feller (1971) 的術語中，林德伯格條件假設對於每個 t>0,

1/(s_n^2)sum_(k=1)^nint_(|y|>=ts_n)y^2F_k{dy}->0,
(5)

或等價地

1/(s_n^2)sum_(k=1)^nint_(|y|<ts_n)y^2F_k{dy}->1.
(6)

那麼分佈

S_n^*=(X_1+...+X_n)/(s_n)
(7)

趨向於具有零期望和單位方差的 正態分佈 (Feller 1971, p. 256)。 林德伯格條件 (5) 保證了各個方差 sigma_k^2 相對於它們的總和 s_n^2 而言很小，因為對於給定的 epsilon>0，對於所有 足夠大 的 n，sigma_k/s_n<epsilon 對於 k=1, ..., n (Feller 1971, p. 256)。

另請參閱

中心極限定理, 費勒-列維條件

使用 探索

參考資料

Feller, W. "Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung." Math. Zeit. 40, 521-559, 1935.Feller, W. "Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, II." Math. Zeit. 42, 301-312, 1935.Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 257-258, 1971.Lindeberg, J. W. "Eine neue Herleitung des Exponential-gesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung." Math. Zeit. 15, 211-235, 1922.Trotter, H. F. "An Elementary Proof of the Central Limit Theorem." Arch. Math. 10, 226-234, 1959.Wallace, D. L. "Asymptotic Approximations to Distributions." Ann. Math. Stat. 29, 635-654, 1958.Zabell, S. L. "Alan Turing and the Central Limit Theorem." Amer. Math. Monthly 102, 483-494, 1995.

在 中被引用

林德伯格條件

請引用為

Weisstein, Eric W. "林德伯格條件。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/LindebergCondition.html

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