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預期壽命


一個 l_x 表格是一個數字列表,用於計算預期壽命。

xn_xd_xl_xq_xL_xT_xe_x
010002001.000.200.902.702.70
18001000.800.120.751.802.25
27002000.700.290.601.051.50
35003000.500.600.350.450.90
42002000.201.000.100.100.50
5000.00--0.000.00--
sum10002.70

x: 年齡類別 (x=0, 1, ..., k)。這些值可以使用任何方便的單位,但必須選擇單位,以使觀察到的最長壽命不超過類別 k-1

n_x: 普查規模,定義為研究人群中存活到年齡類別 x 開始時的個體數量。因此,n_0=N (總人口規模) 和 n_k=0

d_x: =n_x-n_(x+1); sum_(i=0)^(k)d_i=n_0。粗死亡率,衡量在年齡類別 x 內死亡的個體數量。

l_x: =n_x/n_0。存活率,衡量存活到年齡類別 x 開始時的個體比例

q_x: =d_x/n_x; q_(k-1)=1。比例死亡率,或“風險”,衡量存活到年齡類別 x 開始時並在該類別內死亡的個體比例。

L_x: =(l_x+l_(x+1))/2。中點存活率,衡量存活到年齡類別 x 中點時的個體比例。請注意,如果存活率在年齡類別內是非線性的,則簡單的平均公式必須替換為更復雜的表示式。總和 sum_(i=0)^(k)L_x 給出了整個研究人群所經歷的年齡類別總數。

T_x: =T_(x-1)-L_(x-1); T_0=sum_(i=0)^(k)L_x。衡量所有存活到年齡類別 x 開始時的個體剩餘的年齡類別總數。

e_x: =T_x/l_x; e_(k-1)=1/2。預期壽命,即存活到年齡類別 x 開始時的個體,剩餘到死亡的平均年齡類別數。

對於所有 xe_(x+1)+1>e_x。這意味著總預期壽命單調遞增。例如,在上表中,一歲兒童的平均死亡年齡為 2.25+1=3.25,而新生兒為 2.70。實際上,老年人的死亡年齡分佈是以他們已存活到當前年齡為條件的。

通常將存活率研究為 l_xx 的半對數圖,稱為 存活曲線。所謂的 l_xm_x 表格可用於計算種群的平均世代時間。下面展示了兩個 l_xm_x 表格。

種群 1

xl_xm_xl_xm_xxl_xm_x
01.000.000.000.00
10.700.500.350.35
20.501.500.751.50
30.200.000.000.00
40.000.000.000.00
R_0=1.10sum=1.85
T=(sumxl_xm_x)/(suml_xm_x)=(1.85)/(1.10)=1.68
(1)
r=(lnR_0)/T=(ln1.10)/(1.68)=0.057.
(2)

種群 2

xl_xm_xl_xm_xxl_xm_x
01.000.000.000.00
10.700.000.000.00
20.502.001.002.00
30.200.500.100.30
40.000.000.000.00
R_0=1.10sum=2.30
T=(sumxl_xm_x)/(suml_xm_x)=(2.30)/(1.10)=2.09
(3)
r=(lnR_0)/T=(ln1.10)/(2.09)=0.046.
(4)

x: 年齡類別 (x=0, 1, ..., k)。這些值可以使用任何方便的單位,但必須選擇單位,以使觀察到的最長壽命不超過類別 k-1 (如在 l_x 表格中)。

l_x: =n_x/n_0。存活率,衡量存活到年齡類別 x 開始時的個體比例 (如在 l_x 表格中)。

m_x: 個體在年齡類別 x 產生的平均後代數量。sum_(i=0)^(k)m_x 因此表示壽命最長的個體產生的平均終生後代數量。

l_xm_x: 個體在年齡類別 x 內產生的平均後代數量,並按存活到該年齡類別開始時的機率加權。sum_(i=0)^(k)l_xm_x 因此表示研究人群的成員產生的平均終生後代數量。它被稱為每代的淨繁殖率,通常表示為 R_0

xl_xm_x: 一列,根據後代出生時其父母的年齡,對前一列中計算的後代進行加權。因此,比率 T=sum(xl_xm_x)/sum(l_xm_x) 是種群的平均世代時間。

馬爾薩斯引數 r 衡量單位時間的繁殖率,可以計算為 r=(lnR_0)/T。對於呈指數增長的人口,時間 t 時的人口規模 N(t) 由下式給出

 N(t)=N_0e^(rt).
(5)

在上面的兩個表格中,種群具有相同的繁殖率 R_0=1.10。然而,種群 2 中向較晚繁殖的轉變增加了世代時間,從而減緩了 人口增長 的速度。通常,即使繁殖率大幅降低,稍微延遲繁殖也會比大幅降低繁殖率更強烈地降低 人口增長


另請參閱

貢珀茨曲線, Logistic 對映, 梅克漢姆曲線, 馬爾薩斯引數, 人口增長, 存活曲線

使用 探索

參考文獻

斯坦豪斯,H. 數學快照,第 3 版。 紐約:多佛出版社,第 294-295 頁,1999 年。

在 中引用

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請這樣引用

韋斯坦,埃裡克·W. “預期壽命。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/LifeExpectancy.html

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