Laplace-Carson 變換

Laplace-Carson 變換 是一個實值函式 的 積分變換，由以下公式定義：

(1)

在大多數情況下，函式 僅為屬於實值函式類 的某些函式 定義。 中的函式滿足三個性質，即

1. 在每個有限長度的 區間 內是 可積的，

2. 對於所有 ，

3. 存在一個 實數 ，使得對於所有值 ，。

特別地， 意味著對於所有實數 ， 存在。

可以將 Laplace-Carson 變換視為常規 Laplace 變換 的變體，Carson 專門設計該變體以使 Heaviside 階躍函式 （一個 Laplace 變換由 給出）的變換對於所有值 都等於 1。 實際上，僅從 的定義出發，就可以輕鬆推斷出 的此屬性，以及變換本身的其他一系列直接的基本屬性。 例如，如果 是一個 Laplace-Carson 變換表示為 的函式，並且如果 用作將 Laplace-Carson 變換應用於 並得到 的簡寫，則以下恆等式成立：

(2)

(3)

和

(4)

此外，可以證明對於任意實數 和 ，

(5)

(6)

和

(7)

() 和 () 中的恆等式分別被稱為滯後定理和位移定理。

給定函式 ，其 Laplace-Carson 變換分別為 ，可以證明 卷積/乘法定理：

(8)

最後，可以證明：

(9)

和

(10)

除了上述內容外，還可以使用各種其他方法證明關於 Laplace-Carson 恆等式的更多有趣的結果；許多這樣的結果需要更精細的方法（Rubinstein 和 Rubinstein 1999）。