拉格朗日乘數，也稱為拉格朗日乘子（例如，Arfken 1985，第 945 頁），可用於找到多元函式的極值 
，受約束於 
，其中 
和 
是在包含曲線 
的開集上具有連續一階偏導數的函式，並且在曲線上任何點處 
（其中 
是梯度）。
為了使 
的極值存在於 
上，梯度 
必須與 梯度 
對齊。在上面的圖示中，
以紅色顯示，
以藍色顯示，並且 
和 
的交集以淺藍色指示。梯度是一個水平向量（即，它沒有 
-分量），它顯示函式增加的方向；對於 
，它垂直於曲線，在這種情況下曲線是一條直線。如果兩個梯度方向相同，則一個是另一個的倍數 (
)，因此
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(1)
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這兩個向量相等，因此它們的所有分量也相等，給出
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(2)
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對於所有 
, ..., 
，其中常數 
稱為拉格朗日乘數。
然後透過求解 
個方程和 
個未知數來找到極值，這樣做無需反轉 
，這就是拉格朗日乘數如此有用的原因。
對於多個約束 
, 
, ...,
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(3)
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