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琴生不等式

如果 p_1, ..., p_n 是和為 1 的正數，且 f 是一個 實 連續函式，它是 凸函式，那麼

f(sum_(i=1)^np_ix_i)<=sum_(i=1)^np_if(x_i).
(1)

如果 f 是 凹函式，那麼不等式反向，得到

f(sum_(i=1)^np_ix_i)>=sum_(i=1)^np_if(x_i).
(2)

等同於 p_i=1/n 的特殊情況，對於 凹函式 lnx 給出

ln(1/nsum_(i=1)^nx_i)>=1/nsum_(i=1)^nlnx_i,
(3)

可以進行指數運算，得到算術平均值- 幾何平均值不等式

(x_1+x_2+...+x_n)/n>=RadicalBox[{{x, _, 1}, {x, _, 2}, ..., {x, _, n}}, n].
(4)

這裡，等式成立當且僅當 x_1=x_2=...=x_n。

另請參閱

凹函式, 凸函式, 琴生公式

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參考文獻

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. 聖地亞哥，加利福尼亞州：學術出版社，第 1101 頁，2000 年。Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. "Some Theorems Concerning Monotonic Functions." §3.14 in Inequalities, 2nd ed. 劍橋，英格蘭：劍橋大學出版社，第 83-84 頁，1988 年。Jensen, J. L. W. V. "Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes." Acta Math. 30, 175-193, 1906.Krantz, S. G. "Jensen's Inequality." §9.1.3 in Handbook of Complex Variables. 波士頓，馬薩諸塞州：Birkäuser，第 118 頁，1999 年。

在 上被引用

琴生不等式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Jensen's Inequality." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/JensensInequality.html

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