Hensel 引理

賦值理論中的一個重要結果，它提供了尋找多項式根的資訊。Hensel 引理的正式表述如下。設 為完備的 非阿基米德域，設 為對應的 賦值環。設 為一個 多項式，其 係數 在 中，並假設 滿足

(1)

其中 是 的（形式）導數。那麼存在唯一的元素 使得 且

(2)

不那麼正式地說，如果 是一個具有“整數”係數的多項式，且 與 相比“很小”，那麼方程 在 “附近”有一個解。此外，在 附近沒有其他解，儘管可能存在其他解。該引理的證明是基於牛頓-拉夫遜方法，並依賴於賦值的非阿基米德性質。

考慮以下示例，其中使用 Hensel 引理來確定方程 在 5-adic 數 中是可解的（因此我們可以將高斯整數以一種很好的方式嵌入到 中）。設 為 5-adic 數 ，設 ，並設 。那麼我們有 和 ，所以

(3)

且條件滿足。然後 Hensel 引理告訴我們，存在一個 5-adic 數 使得 且

(4)

類似地，存在一個 5-adic 數 使得 且

(5)

因此，我們找到了 在 中的兩個平方根。使用這種技術可以找到任何多項式的根。