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Gauss-Kuzmin 分佈

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Gauss-Kuzmin 分佈是正整數 k 在隨機（或“通用”）實數的連分數中出現的分佈。

考慮為實數 x 定義的 xi_n：

xi_n=a_n+1/(a_(n+1)+1/(a_(n+2)+...))
(1)
=a_n+1/(xi_(n+1)),
(2)

因此 1/xi_(n+1) 是 xi_n 的小數部分。這可以透過以下遞迴方式定義：

a_n=|_1/(xi_(n-1))_|
(3)

和

xi_n=1/(xi_(n-1))-a_n
(4)

其中 xi_(-1)=x 並且 a_n 只是連分數 x=[a_0;a_1,...] 的第 n 項。

GaussKuzminHistogram

Gauss 在 1812 年 1 月 30 日寫給 Laplace 的一封信中考慮了分佈 frac(xi_n)。在信中，Gauss 說他可以透過一個簡單的論證證明，如果 F_n(x)，有時也表示為 omega_n(x) (Havil 2003, p. 156)，是隨機數 x 的 fracxi_n<x 的機率，那麼

lim_(n->infty)F_n(x)=lg(1+x)
(5)

(Rockett 和 Szüsz 1992, pp. 151-152; Knuth 1998, p. 341; Havil 2003, p. 157)。上面說明了 frac(xi_n) 對於 pi、尤拉-馬歇羅尼常數 gamma、卡塔蘭常數 K 和 自然對數 2 ln2 的 5000 項的直方圖。

然而，Gauss 無法描述以下公式中修正項的行為：

F_n(x)=lg(1+x)+epsilon_n.
(6)

Kuz'min (1928) 發表了對 F_n(x) 的漸近行為的首次分析，得到

F_n(x)=lg(1+x)+O(q^(sqrt(n)))
(7)

其中 0<q<1。Lévy (1929) 使用不同的方法得到

F_n(x)=lg(1+x)+O(q^n)
(8)

其中 q=0.7。Wirsing (1974) 隨後證明（除其他結果外），

lim_(n->infty)(F_n(x)-lg(1+x))/((-lambda)^n)=Psi(x),
(9)

其中 lambda 是一個常數，稱為 Gauss-Kuzmin-Wirsing 常數，Psi(x) 是一個解析函式，且 Psi(0)=Psi(1)=0。

GaussKuzminDistribution

從 Gauss 的結果可以得出

P(a_n=k)=-lg[1-1/((k+1)^2)]
(10)
=lg[1+1/(k(k+2))]
(11)

(Bailey et al. 1997; Havil 2003, p. 158)，其中 lgx=log_2x 並且 “Kuzmin” 有時也寫為 “Kuz'min”。上面的圖顯示了 pi、sin1、尤拉-馬歇羅尼常數 gamma 和 Copeland-Erdős 常數 C 的連分數的首 500 項的分佈。分佈已正確歸一化，因為

-sum_(k=1)^inftylg[1-1/((k+1)^2)]=1.
(12)

另請參閱

連分數, Gauss-Kuzmin-Wirsing 常數

使用 探索

參考文獻

Babenko, K. I. "On a Problem of Gauss." Soviet Math. Dokl. 19, 136-140, 1978.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "On the Khintchine Constant." Math. Comput. 66, 417-431, 1997.Daudé, H.; Flajolet, P.; and Vallé, B. "An Average-Case Analysis of the Gaussian Algorithm for Lattice Reduction." Combin. Probab. Comput. 6, 397-433, 1997.Durner, A. "On a Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy." Arch. Math. 58, 251-256, 1992.Finch, S. R. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." §2.17 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 151-156, 2003.Havil, J. Gamma: 探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 155-159, 2003.Khinchin, A. Ya. "Gauss's Problem and Kuz'min's Theorem." §15 in 連分數。 New York: Dover, pp. 71-86, 1997.Knuth, D. E. 計算機程式設計藝術，第 2 卷：半數值演算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Kuz'min, R. O. "A Problem of Gauss." Dokl. Akad. Nauk, Ser. A, 375-380, 1928.Kuz'min, R. O. "Sur un problème de Gauss." Anni Congr. Intern. Bologne 6, 83-89, 1928.Lévy, P. "Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue." Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.Lévy, P. "Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue." Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.Rockett, A. M. and Szüsz, P. "The Gauss-Kuzmin Theorem." §5.5 in 連分數。 New York: World Scientific, pp. 151-155, 1992.Wirsing, E. "On the Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy and a Frobenius-Type Theorem for Function Spaces." Acta Arith. 24, 507-528, 1974.

在 上被引用

Gauss-Kuzmin 分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. "Gauss-Kuzmin 分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Gauss-KuzminDistribution.html

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