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差商

差商 f[x_0,x_1,x_2,...,x_n]，有時也記為 [x_0,x_1,x_2,...,x_n] (Abramowitz and Stegun 1972)，在 n+1 個點 x_0, x_1, ..., x_n 處，函式 f(x) 的差商定義為 f[x_0]=f(x_0) 和

f[x_0,x_1,...,x_n]=(f[x_0,...,x_(n-1)]-f[x_1,...,x_n])/(x_0-x_n)
(1)

對於 n>=1。 前幾個差分是

f[x_0,x_1]=(f_0-f_1)/(x_0-x_1)
(2)
f[x_0,x_1,x_2]=(f[x_0,x_1]-f[x_1,x_2])/(x_0-x_2)
(3)
f[x_0,x_1,...,x_n]=(f[x_0,...,x_(n-1)]-f[x_1,...,x_n])/(x_0-x_n).
(4)

定義

pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)
(5)

並取 導數

pi_n^'(x_k)=(x_k-x_0)...(x_k-x_(k-1))(x_k-x_(k+1))...(x_k-x_n)
(6)

得到恆等式

f[x_0,x_1,...,x_n]=sum_(k=0)^n(f_k)/(pi_n^'(x_k)).
(7)

考慮以下問題：性質

f[x_1,x_2,...,x_n]=h(x_1+x_2+...+x_n)
(8)

對於 n>=2 和給定的函式 h(x) 是否保證 f(x) 是一個次數 <=n 的 多項式？ Aczél (1985) 證明了對於 n=2 答案是“肯定”的，Bailey (1992) 證明了對於 n=3 且 f(x) 可微時，答案也是成立的。Schwaiger (1994) 和 Andersen (1996) 隨後證明了對於所有 n>=3，當對 f(x) 或 h(x) 施加限制時，答案也是“肯定”的。

另請參閱

霍納法, 插值, 牛頓差商插值公式, 倒數差分

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版. New York: Dover, pp. 877-878, 1972.Aczél, J. "二次多項式導數的均值性質——無需均值和導數." Math. Mag. 58, 42-45, 1985.Andersen, K. M. "多項式的表徵." Math. Mag. 69, 137-142, 1996.Bailey, D. F. "三次多項式的均值性質——無需均值." Math. Mag. 65, 123-124, 1992.Beyer, W. H. (編). CRC 標準數學表格，第 28 版. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 439-440, 1987.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "差商." §9.012 見 數學物理方法，第 3 版. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 260-264, 1988.Schwaiger, J. "關於用差商表徵多項式." Aequationes Math. 48, 317-323, 1994.Sauer, T. 和 Xu, Y. "關於多元拉格朗日插值." Math. Comput. 64, 1147-1170, 1995.Whittaker, E. T. 和 Robinson, G. "差商" 和 "關於差商的定理." §11-12 見 觀測計算：數值數學專著，第 4 版. New York: Dover, pp. 20-24, 1967.

在 中被引用

差商

請引用為

Weisstein, Eric W. "差商." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DividedDifference.html

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