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霍納法

一種尋找多項式方程根的方法 f(x)=0。 現在找到一個方程，其根是此方程的根減小了 r，因此

0=f(x+r)=f(r)+xf^'(r)+1/2x^2f^('')(r)+1/3x^3f^(''')(r)+....
(1)

...、...、... 的表示式然後如下例所示找到，其中

f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F.
(2)

將係數 A、B、...、F 寫在一行中，並讓一個新字母（顯示為分母）代表它正上方的總和，因此，在以下示例中，P=Ar+B。 結果如下表。

ABCDEF
(Ar)/P(Pr)/Q(Qr)/R(Rr)/S(Sr)/omega
(Ar)/T(Tr)/U(Ur)/R(Vr)/chi
(Ar)/W(Wr)/X(Xr)/psi
(Ar)/Y(Yr)/phi
(Ar)/theta

求解量 theta、phi、psi、chi 和 omega 得到

theta=5Ar+B=1/(4!)f^((iv))(r)
(3)
phi=10Ar^2+4Br+C=1/(3!)f^(''')(r)
(4)
psi=10Ar^3+6Br^2+3Cr+D=1/(2!)f^('')(r)
(5)
chi=5Ar^4+4Br^3+3Cr^2+2Dr+E=f^'(r)
(6)
omega=Ar^5+Br^4+Cr^3+Dr^2+Er+F=f(r),
(7)

因此，方程的根是 f(x)=0 的根，每個根都減小了 r，是

0=Ax^5+thetax^4+phix^3+psix^2+chix+omega
(8)

(Whittaker 和 Robinson 1967 年)。

要應用此過程，首先透過任何需要的手段確定根的整數部分，然後將方程減小此量。 這給出第二位數字，方程再次被縮小（在乘以 10 後）以找到第三位數字，依此類推。

HornersMethod

要檢視該方法的應用，請考慮找到以下方程的最小正根的問題

x^3-4x^2+5=0.
(9)

此根介於 1 和 2 之間，因此將方程減小 1，得到上面顯示的左表。 得到的縮小方程是

x^3-x^2-5x+2=0,
(10)

並且是此方程根的十倍的根滿足方程

x^3-10x^2-500x+2000=0.
(11)

此方程在 1 和 10 之間的根位於 3 和 4 之間，因此將方程減小 3 會產生上面顯示的右表，從而給出變換後的方程

x^3-x^2-533+437=0.
(12)

可以繼續此過程以產生近似為 1.3819659 的根。

霍納過程實際上歸結為構造一個差商表（Whittaker 和 Robinson 1967 年）。

另請參閱

差商, 牛頓法

使用 探索

參考文獻

Boyer, C. B. and Merzbacher, U. C. 數學史，第 2 版 New York: Wiley, pp. 202-204, 256, and 307, 1991.Horner, W. G. "一種透過連續逼近求解所有階數值方程的新方法。" Philos. Trans. Roy. Soc. London 109, 308-335, 1819.Matthews, J. H. "霍納法書目。" http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/horner/HornerBib/Links/HornerBib_lnk_2.html.Peña, J. M. and Sauer, T. "關於多元霍納方案。" SIAM J. Numer. Anal. 37, 1186-1197, 2000.Peña, J. M. and Sauer, T. "關於多元霍納方案 II：執行誤差分析。" SIAM J. Numer. Anal. 65, 311-322, 2000.Ruffini, P. "Sopra la determinazione delle radici nelle equazioni numeriche di qualunque grado." Modena, Italy, 1804.Ruffini, P. Memorie di Mat. e di Fis. della Soc. Italiana delle Scienze. Verona, Italy, 1813.Séroul, R. "多項式求值：霍納法。" §10.6 in 程式設計師數學。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 216-262, 2000.Whittaker, E. T. and Robinson, G. "魯菲尼-霍納法。" §53 in 觀測微積分：數值數學專論，第 4 版。 New York: Dover, pp. 100-106, 1967.

在 中被引用

霍納法

請引用為

Weisstein, Eric W. "霍納法。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/HornersMethod.html

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