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柯西分佈

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CauchyDistributionFigure

柯西分佈，也稱為洛倫茲分佈或洛倫茨分佈，是一種描述共振行為的連續分佈。它還描述了以隨機角度傾斜的線段切割 x 軸的水平距離的分佈。

令 theta 表示一條直線（旋轉點固定）與垂直軸所成的角度，如上圖所示。那麼

tantheta=x/b
(1)
theta=tan^(-1)(x/b)
(2)
dtheta=1/(1+(x^2)/(b^2))(dx)/b
(3)
=(bdx)/(b^2+x^2),
(4)

因此，角度 theta 的分佈由下式給出

(dtheta)/pi=1/pi(bdx)/(b^2+x^2).
(5)

這是對所有角度歸一化的，因為

int_(-pi/2)^(pi/2)(dtheta)/pi=1
(6)

和

int_(-infty)^infty1/pi(bdx)/(b^2+x^2)=1/pi[tan^(-1)(x/b)]_(-infty)^infty
(7)
=1/pi[1/2pi-(-1/2pi)]
(8)
=1.
(9)
CauchyDistribution

一般柯西分佈及其累積分佈可以寫成

P(x)=1/pib/((x-m)^2+b^2)
(10)
D(x)=1/2+1/pitan^(-1)((x-m)/b),
(11)

其中 b 是半峰全寬，m 是統計中位數。在上圖中，m=0。

柯西分佈在 Wolfram 語言中實現為CauchyDistribution[m, Gamma/2].

特徵函式是

phi(t)=1/piint_(-infty)^inftye^(itx)(1/2Gamma)/((1/2Gamma)^2+(x-m)^2)dx
(12)
=e^(imt-Gamma|t|/2).
(13)

分佈的矩 mu_n 未定義，因為積分

mu_n=int_(-infty)^inftyGamma/(2pi)(x^n)/((x-m)^2+(1/2Gamma)^2)dx
(14)

當 n>=1 時發散。

如果 X 和 Y 是具有正態分佈的變數，則 Z=X/Y 具有柯西分佈，統計中位數為 m=0，全寬為

Gamma=(2sigma_x)/(sigma_y).
(15)

來自柯西分佈的 n 個變數之和本身也服從柯西分佈，這可以從

P_n(x)=F_t^(-1){[phi(t)]^n}(x)
(16)
=((1/2nGamma))/(pi[(1/2nGamma)^2+(x-nm)^2]),
(17)

其中 phi(t) 是特徵函式，F_t^(-1)[f(t)](x) 是逆傅立葉變換，引數取 a=b=1。

另請參閱

正態分佈

使用 探索

參考文獻

Papoulis, A. 機率、隨機變數和隨機過程，第 2 版。 New York: McGraw-Hill, p. 104, 1984.Spiegel, M. R. 機率與統計的理論和問題。 New York: McGraw-Hill, pp. 114-115, 1992.

在 上引用

柯西分佈

引用為

Weisstein, Eric W. "柯西分佈。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/CauchyDistribution.html

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