掃帚空間

子集 是由 歐幾里得平面 形成的 並集，它由 區間 （x 軸）以及所有穿過 原點 且與 x 軸形成角度 (以弧度為單位測量) 的單位長度 線段 的並集組成，其中 為所有正整數。

關於相對拓撲， 是 道路連通 的。因此它是連通的，但在開區間 的任何點上都不是 區域性道路連通 的。以這些點之一為中心的每個圓盤與 的交集是一系列不相交線段的並集，這些線段形成一個不連通的集合。

設 是由長度為 的線段組成的掃帚空間，其中 為所有自然數，並將 、、、... 依次放置在 軸上。這將覆蓋 的半開區間 軸（上圖）。透過將點 (2,0) 新增到這個掃帚序列中而獲得的空間在點 (2,0) 處是 區域性連通 的，因為 (2,0) 的每個開鄰域都包含一個 閉圓盤，其半徑恰好由所有足夠大的 的 的基區間形成。因此，包含在這個圓盤中的任何兩點都透過由這些掃帚空間線段組成的路徑連線。另一方面，點 (2, 0) 沒有連通的開鄰域，因為以 (2,0) 為中心的每個開圓盤都沒有邊界，因此，與閉圓盤的情況不同，它不能在某個掃帚空間的頂點處結束。因此，它必須穿過某個 ，這將與一系列不相交的線段相交，而這些線段形成一個不連通的集合。