伯努利不等式

伯努利不等式指出

(1)

其中 是一個 實數，且 是一個 整數。

這個不等式可以透過取 的麥克勞林級數來證明，

(2)

由於對於整數 ，該級數在有限項後終止，因此對於 ，伯努利不等式可以透過截斷到一階項獲得。

當 時，需要稍微更精細的處理。在這種情況下，令 ，使得 ，並取

(3)

由於 的每個 冪 都乘以一個小於 的數，並且由於每個後續項的 係數的絕對值小於前一項，因此三階及後續項的和是一個正數。因此，

(4)

或者

(5)

完成不等式在所有引數範圍內的證明。

對於 ，伯努利不等式的以下推廣對於實數指數有效

(6)

和

(7)

(Mitrinović 1970)。