巴拿赫-斯坦豪斯定理

巴拿赫-斯坦豪斯定理是泛函分析領域的一個結果，它將相對於拓撲向量空間之間的一族線性對映定義的某個點子集的“大小”與所涉及對映的某個連續性屬性聯絡起來。

更精確地說，假設 和 是拓撲向量空間， 是一族從 到 的連續線性對映，並且 表示 X 中所有點的集合 ，這些點的軌道 在 中是有界的。巴拿赫-斯坦豪斯定理指出，如果 在 中是第二綱的，那麼必然得出 ，並且族 是等度連續的。

巴拿赫-斯坦豪斯定理的陳述通常以各種形式給出，有些形式顯然與上述形式不同。因此，它的各種推論有時被認為是實際定理的一部分。其中一個例子是將巴拿赫-斯坦豪斯定理與所謂一致有界原理等同起來，後者指出，如果 Banach 空間之間任何一族連續線性運算元是逐點有界的，則它是一致有界的。這個結果實際上是上述巴拿赫-斯坦豪斯定理版本的推論，並結合了以下觀察：在上述框架中，等度連續族 必然滿足一致有界性，其中 的每個有界子集 都意味著存在 的有界子集 ，使得對於 中的每個 ， 屬於 。