頭條新聞

第 47 個已知梅森素數顯然已被發現

作者：Eric W. Weisstein

2009 年 6 月 7 日——在第 45 個和第 46 個已知梅森素數被發現不到一年後，網際網路梅森素數大搜索 (GIMPS) 專案組織者 George Woltman 在 6 月 7 日傳送給 GIMPS 郵件列表的電子郵件中報告稱，一個新的梅森數已被標記為素數並報告給專案伺服器。如果得到驗證，這將是發現的第 47 個梅森素數。已開始對該數字進行驗證執行，並且一旦發現得到確認，將提供更多詳細資訊。該素數顯然是在 4 月份被發現的，但由於伺服器的配置問題，阻止了向搜尋組織者傳送通知電子郵件，因此未被注意到。

[附筆：該素數現已獲得官方驗證並宣佈為M_42643801，它有 12837064 位十進位制數字，使其成為按大小排列的第 46 個已知梅森素數，因此僅為第二大素數。它是由挪威 GIMPS 參與者 Odd Magnar Strindmo 發現的。]

梅森數是形如M_n = 2ⁿ - 1 的數，前幾個為 1、3、7、15、31、63、127、...。有趣的是，這些數字的定義因此意味著第 n 個梅森數在二進位制表示時只是一個由 n 個 1 組成的字串。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一個梅森數。事實上，由於 127 也是素數，因此 127 也是一個梅森素數。

對此類數字的研究歷史悠久且有趣，而尋找素數的梅森數一直是一項計算挑戰性的練習，需要世界上最快的計算機。梅森素數與所謂的完全數密切相關，古代希臘人，包括歐幾里得，對此進行了廣泛的研究。下表給出了先前已知的梅森素數的指數 n 的完整列表（以及 Neil Sloane 的整數序列線上百科全書中的序列 A000043）。其中最後一個具有驚人的 12,978,189 位十進位制數字。但是，請注意，第 39 個和第 40 個已知梅森素數之間的區域尚未完全搜尋，因此尚不清楚 M_20,996,011 是否實際上是第 40 個梅森素數。

下表總結了所有已知的梅森素數。

#		位數	年份	發現者（參考文獻）	值
1	2	1	古代		3
2	3	1	古代		7
3	5	2	古代		31
4	7	3	古代		127
5	13	4	1461	Reguis (1536), Cataldi (1603)	8191
6	17	6	1588	Cataldi (1603)	131071
7	19	6	1588	Cataldi (1603)	524287
8	31	10	1750	Euler (1772)	2147483647
9	61	19	1883	Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)	2305843009213693951
10	89	27	1911	Powers (1911)	618970019642690137449562111
11	107	33	1913	Powers (1914)	162259276829213363391578010288127
12	127	39	1876	Lucas (1876)	170141183460469231731687303715884105727
13	521	157	1 月 30 日，1952 年	Robinson (1954)	68647976601306097149...12574028291115057151
14	607	183	1 月 30 日，1952 年	Robinson (1954)	53113799281676709868...70835393219031728127
15	1279	386	6 月 25 日，1952 年	Robinson (1954)	10407932194664399081...20710555703168729087
16	2203	664	10 月 7 日，1952 年	Robinson (1954)	14759799152141802350...50419497686697771007
17	2281	687	10 月 9 日，1952 年	Robinson (1954)	44608755718375842957...64133172418132836351
18	3217	969	9 月 8 日，1957 年	Riesel	25911708601320262777...46160677362909315071
19	4253	1281	11 月 3 日，1961 年	Hurwitz	19079700752443907380...76034687815350484991
20	4423	1332	11 月 3 日，1961 年	Hurwitz	28554254222827961390...10231057902608580607
21	9689	2917	5 月 11 日，1963 年	Gillies (1964)	47822027880546120295...18992696826225754111
22	9941	2993	5 月 16 日，1963 年	Gillies (1964)	34608828249085121524...19426224883789463551
23	11213	3376	6 月 2 日，1963 年	Gillies (1964)	28141120136973731333...67391476087696392191
24	19937	6002	3 月 4 日，1971 年	Tuckerman (1971)	43154247973881626480...36741539030968041471
25	21701	6533	10 月 30 日，1978 年	Noll and Nickel (1980)	44867916611904333479...57410828353511882751
26	23209	6987	2 月 9 日，1979 年	Noll (Noll and Nickel 1980)	40287411577898877818...36743355523779264511
27	44497	13395	4 月 8 日，1979 年	Nelson and Slowinski	85450982430363380319...44867686961011228671
28	86243	25962	9 月 25 日，1982 年	Slowinski	53692799550275632152...99857021709433438207
29	110503	33265	1 月 28 日，1988 年	Colquitt and Welsh (1991)	52192831334175505976...69951621083465515007
30	132049	39751	9 月 20 日，1983 年	Slowinski	51274027626932072381...52138578455730061311
31	216091	65050	9 月 6 日，1985 年	Slowinski	74609310306466134368...91336204103815528447
32	756839	227832	2 月 19 日，1992 年	Slowinski and Gage	17413590682008709732...02603793328544677887
33	859433	258716	1 月 10 日，1994 年	Slowinski and Gage	12949812560420764966...02414267243500142591
34	1257787	378632	9 月 3 日，1996 年	Slowinski and Gage	41224577362142867472...31257188976089366527
35	1398269	420921	11 月 12 日，1996 年	Joel Armengaud/GIMPS	81471756441257307514...85532025868451315711
36	2976221	895832	8 月 24 日，1997 年	Gordon Spence/GIMPS	62334007624857864988...76506256743729201151
37	3021377	909526	1 月 27 日，1998 年	Roland Clarkson/GIMPS	12741168303009336743...25422631973024694271
38	6972593	2098960	6 月 1 日，1999 年	Nayan Hajratwala/GIMPS	43707574412708137883...35366526142924193791
39	13466917	4053946	11 月 14 日，2001 年	Michael Cameron/GIMPS	92494773800670132224...30073855470256259071
40	20996011	6320430	11 月 17 日，2003 年	Michael Shafer/GIMPS	12597689545033010502...94714065762855682047
41?	24036583	7235733	5 月 15 日，2004 年	Josh Findley/GIMPS	29941042940415717208...67436921882733969407
42?	25964951	7816230	2 月 18 日，2005 年	Martin Nowak/GIMPS	12216463006127794810...98933257280577077247
43?	30402457	9152052	12 月 15 日，2005 年	Curtis Cooper 和 Steven Boone/GIMPS	31541647561884608093...11134297411652943871
44?	32582657	9808358	9 月 4 日，2006 年	Curtis Cooper 和 Steven Boone/GIMPS	12457502601536945540...11752880154053967871
45?	37156667	11185272	9 月 6 日，2008 年	Hans-Michael Elvenich/GIMPS	20225440689097733553...21340265022308220927
46?	42643801	12837064	6 月 12 日，2009 年	Odd Magnar Strindmo/GIMPS	16987351645274162247...84101954765562314751
47?	43112609	12978189	8 月 23 日，2008 年	Edson Smith/GIMPS	31647026933025592314...80022181166697152511

最大的 13 個已知梅森素數（包括最新的候選素數）都是由 GIMPS 發現的，GIMPS 是一個由國際志願者協作開展的分散式計算專案。到目前為止，GIMPS 參與者已經測試和雙重檢查了所有低於 18,000,949 的指數 n，而所有低於 26,181,803 的指數都至少測試過一次。候選素數尚待在不同硬體上執行的獨立軟體進行驗證。如果得到確認，GIMPS 將釋出官方新聞稿，其中將揭示該數字和幸運發現者的姓名。