頭條新聞

第 45 個和第 46 個梅森素數被發現

作者：Eric W. Weisstein

2008 年 9 月 16 日——在第 44 個梅森素數被報道兩年後（ 頭條新聞：2006 年 9 月 11 日），網際網路梅森素數大搜索 (GIMPS) 專案發現了第 45 個和第 46 個已知的梅森素數。這些發現是由 Edson Smith 於 2008 年 8 月 23 日（對於較大的素數）和 Hans-Michael Elvenich 於 2008 年 9 月 6 日（對於較小的素數）做出的，並由 GIMPS 組織者 George Woltman 於 9 月 16 日宣佈。就像之前的梅森素數發現（其中 Curtis Cooper 博士和 Steven Boone 博士在極其不可能的情況下，也是第 43 個已知梅森素數的發現者）一樣，這證明閃電不僅會擊中兩次，而且還會雙重擊中兩次！更多細節可以在 Mersenne.org 新聞稿中找到。

梅森數是形如 M_n = 2ⁿ - 1 的數，前幾個是 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...。有趣的是，這些數的定義意味著第 n 個梅森數在用 二進位制表示時只是一串 n 個 1。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一個梅森數。梅森素數是也是素數的梅森數，即除了 1 和自身之外沒有其他因子的數。所以，由於數字 127 是素數並且是梅森數，因此它是一個梅森素數。

新的梅森素數是 2^37,156,667 - 1 = 20225440689097733553...21340265022308220927 和 2^43,112,609 - 1 = 31647026933025592314...80022181166697152511 （其中省略號表示為了簡潔起見，省略了數百萬箇中間數字），分別總共有驚人的 11,185,272 和 12,978,189 位十進位制數字。因此，這兩個素數不僅是已知的最大梅森素數，也是任何型別的已知最大素數。事實上，對於梅森數，有一種特別高效且更重要的是確定性的素性檢驗方法，稱為 Lucas-Lehmer 檢驗。這種檢驗的效率以及梅森數的高度歷史知名度，解釋了為什麼已知的八個最大素數都是梅森素數（素數資料庫）。

對於那些好奇想看到新的素數完整 11,185,272 和 12,978,189 位數字的人，可以透過下載筆記本 mersenne45.nb 和 mersenne46.nb 來獲得生成其十進位制數字的簡短 Mathematica 計算結果。如果您沒有 Mathematica，您可以下載免費的播放器版本來檢視此檔案。由 GIMPS 程式使用的高階變換演算法的發現者 Richard Crandall 建立的海報，展示了新素數的所有 1290 萬位數字（以極小的字號顯示），現在（或不久後）可以從 Perfectly Scientific 獲得。

已知的十二個最大梅森素數（包括最新的）都是由 GIMPS 發現的，這是一個由國際志願者合作進行的分散式計算專案。到目前為止，GIMPS 參與者已經測試並複核了所有小於 17,001,247 的指數 n，而所有小於 21,842,101 的指數至少被測試過一次。

對這類數字的研究有著悠久而有趣的歷史，尋找梅森素數是一項計算上具有挑戰性的練習，需要世界上最快的計算機。梅森素數與所謂的完全數密切相關，完全數曾被包括歐幾里得在內的古希臘人廣泛研究。先前已知的梅森素數的指數 n 的完整列表在下表中給出（以及 Neil Sloane 的《整數序列線上百科全書》中的序列 A000043）。然而，請注意，第 40 個已知梅森素數之後的區域尚未完全搜尋，因此雖然列出的第 41 個數是迄今為止發現的第 41 個梅森素數，但尚不清楚 M_24,036,583 是否實際上是第 41 個梅森素數。