頭條新聞

第 44 個梅森素數被發現

作者：Eric W. Weisstein

2006 年 9 月 11 日——在第 43 個梅森素數被報道後不到一年（ 頭條新聞：2005 年 12 月 25 日），網際網路梅森素數大搜索 (GIMPS) 專案發現了第 44 個已知的梅森素數。候選素數被 Curtis Cooper 博士和 Steven Boone 博士標記為素數，令人驚訝的是，他們以極低的機率也發現了第 43 個已知的梅森素數，從而證明了（用 GIMPS 網站的話來說）閃電可以擊中兩次！更多詳情請見 Mersenne.org 新聞稿。

梅森數是形如 M_n = 2ⁿ - 1 的數，前幾個為 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, .... 有趣的是，這些數的定義意味著第 n 個梅森數在二進位制表示中僅僅是由 n 個 1 組成的字串。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一個梅森數。梅森素數是同時也是素數的梅森數，即除了 1 和自身之外沒有其他因子的數。因此，由於數字 127 是素數並且是梅森數，所以它是梅森素數。

新的梅森素數是 2^32,582,657 - 1 = 12457502601536945540...11752880154053967871 （省略號表示為了簡潔而省略了數百萬箇中間數字），總共有驚人的 9,808,358 個十進位制數字。因此，它不僅是已知最大的梅森素數，也是任何型別已知最大的素數。事實上，對於梅森數，存在一種特別有效且更重要的是確定性的素性測試，稱為 Lucas-Lehmer 測試。這種測試的效率以及梅森數的高度歷史地位，解釋了為什麼六個已知最大的素數都是梅森素數（素數資料庫）。

對於那些好奇想看到這個新的素數完整 9,808,358 位數字的輝煌的人，可以透過下載筆記本 mersenne44.nb 來獲得生成其十進位制數字的簡短 Mathematica 計算結果。如果您沒有 Mathematica，您可以下載免費的試用版來檢視此檔案。Richard Crandall 建立的海報（以極小的字號顯示新素數的所有 980 萬位數字），Richard Crandall 是 GIMPS 程式使用的高階變換演算法的發現者，現在（或不久將）可以從 Perfectly Scientific 獲得。

包括最新的在內的十個已知最大的梅森素數都是由 GIMPS 發現的，GIMPS 是一個由國際志願者協作進行的分散式計算專案。到目前為止，GIMPS 參與者已經測試並雙重檢查了所有小於 13,476,000 的指數 n，而所有小於 17,546,000 的指數都至少被測試過一次。

對此類數字的研究有著悠久而有趣的歷史，而尋找梅森素數的努力一直是一項計算挑戰性的練習，需要世界上最快的計算機。梅森素數與所謂的完全數密切相關，古代希臘人，包括歐幾里得，對此進行了廣泛的研究。下表給出了先前已知的梅森素數的指數 n 的完整列表（以及 Neil Sloane 的整數序列線上百科全書中的序列 A000043）。但是，請注意，第 39 個和第 40 個已知梅森素數之間的區域尚未完全搜尋，因此，雖然列出的第 40 個數字是第 40 個被發現的梅森素數，但尚不清楚 M_20,996,011 是否實際上是第 40 個梅森素數。