頭條新聞

發現第 43 個梅森素數

作者：Eric W. Weisstein

2005 年 12 月 25 日——在第 42 個梅森素數被報道後不到一年（ 頭條新聞：2005 年 2 月 26 日），網際網路梅森素數大搜索 (GIMPS) 專案發現了第 43 個已知的梅森素數。候選素數由中央密蘇里州立大學的 Curtis Cooper 博士和 Steven Boone 博士（教授）標記為素數。更多細節可以在 Mersenne.org 新聞稿中找到。

梅森數是形如 M_n = 2ⁿ - 1 的數，前幾個是 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, .... 有趣的是，這些數的定義意味著第 n 個梅森數在 二進位制表示中只是一個由 n 個 1 組成的字串。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一個梅森數。梅森素數是同時也是素數的梅森數，即除了 1 和自身之外沒有其他因數。因此，由於數字 127 是素數並且是梅森數，所以它是梅森素數。

新的梅森素數是 2^30,402,457 - 1 = 31541647561884608093...11134297411652943871（省略號表示為了簡潔起見，省略了數百萬箇中間數字），總共有驚人的 9,152,052 位十進位制數字。因此，它不僅是已知的最大梅森素數，也是已知的任何型別的最大素數。事實上，對於梅森數，有一種特別有效且更重要的是確定性的素性測試，稱為 Lucas-Lehmer 檢驗。此測試的效率以及梅森數的高度歷史知名度解釋了為什麼四個最大的已知素數都是梅森素數。

對於那些好奇想看看這個新素數完整 9,152,052 位數字的人，生成其十進位制數字的簡短 Mathematica 計算結果可透過下載筆記本 mersenne43.nb 獲得。如果您沒有 Mathematica，您可以下載免費的試用版來檢視此檔案。Richard Crandall（GIMPS 程式使用的高階變換演算法的發現者）製作了一張海報，展示了新素數的所有 910 萬位數字（以極小的字號顯示），該海報現在（或即將）在 Perfectly Scientific 上提供。

已知的九個最大的梅森素數（包括最新的）都是由 GIMPS 發現的，GIMPS 是一個由國際志願者協作進行的分散式計算專案。截至 2005 年 12 月，GIMPS 參與者已經測試並複核了所有小於 11,145,000 的指數 n，而所有小於 15,464,000 的指數都至少被測試過一次。

對這類數的研究有著悠久而有趣的歷史，尋找梅森素數是一項計算挑戰，需要世界上最快的計算機。梅森素數與所謂的完全數密切相關，古代希臘人（包括歐幾里得）對完全數進行了廣泛研究。下表（以及 Neil Sloane 的整數序列線上百科全書中的序列 A000043）給出了先前已知的梅森素數的指數 n 的完整列表。但是，請注意，第 39 個和第 40 個已知的梅森素數之間的區域尚未完全搜尋，因此，雖然列出的第 40 個數是第 40 個被發現的梅森素數，但尚不清楚 M_20,996,011 是否實際上是第 40 個梅森素數。