頭條新聞

發現第 42 個梅森素數

作者：Eric W. Weisstein

2005 年 2 月 26 日——在第 41 個梅森素數被報道後不到一年（ 頭條新聞：2004 年 6 月 1 日），網際網路梅森素數大搜索 (GIMPS) 專案發現了第 42 個 已知的梅森素數。馬丁·諾瓦克博士於 2 月 18 日標記該候選數為素數，託尼·雷克斯於 2 月 25 日獨立驗證，並於 2 月 26 日報告了該指數 (Reix)。諾瓦克的計算在一臺 2.4-GHz 奔騰 4 計算機上花費了 50 多天，而驗證在一臺 16 Itanium CPU Bull NovaScale 5000 HPC 上花費了 5 天。更多詳情請見 Mersenne.org 新聞稿。

梅森數是形如 M_n = 2ⁿ - 1 的數，前幾個是 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...。有趣的是，這些數的定義因此意味著第 n 個梅森數在二進位制表示中只是一串 n 個 1。例如，M₇ = 2⁷ - 1 = 127 = 1111111₂ 是一個梅森數。梅森素數是也是素數的梅森數，即除了 1 和自身之外沒有其他因子的數。因此，由於數字 127 是素數並且是梅森數，所以它是梅森素數。

新的梅森素數是 2^25,964,951 - 1 = 12216463006127794810...98933257280577077247（省略號表示為了簡潔而省略了數百萬箇中間數字），總共有驚人的 7,816,230 個十進位制位數。因此，它不僅是已知的最大梅森素數，也是任何型別中已知的最大素數。事實上，對於梅森數，存在一種特別有效，更重要的是，確定性的素性測試，稱為 Lucas-Lehmer 測試。這種測試的效率，加上梅森數的高度歷史知名度，因此解釋了為什麼四個最大的已知素數都是梅森素數。

對於那些好奇想看到新的素數完整 7,816,230 位數字的人，可以透過下載筆記本 mersenne42.nb 獲取生成其十進位制數字的簡短 Mathematica 計算結果。如果您沒有 Mathematica，您可以下載免費的試用版來檢視此檔案。由 GIMPS 程式使用的高階變換演算法的發現者 Richard Crandall 建立的海報，以極小的字號顯示了新素數的所有 780 萬位數字，目前（或即將）可從 Perfectly Scientific 獲得。

包括最新的素數在內，八個最大的已知梅森素數都是由 GIMPS 發現的，GIMPS 是一個由國際志願者協作進行的分散式計算專案。截至 2005 年 2 月 23 日，GIMPS 參與者已經測試並複核了所有小於 9,889,900 的指數 n，而所有小於 15,130,000 的指數都至少測試過一次。

對此類數字的研究有著悠久而有趣的歷史，尋找梅森素數是一項計算上具有挑戰性的練習，需要世界上最快的計算機。梅森素數與所謂的完全數密切相關，完全數在古代希臘時期，包括歐幾里得，就得到了廣泛的研究。下表給出了先前已知的梅森素數的指數 n 的完整列表（以及尼爾·斯隆的整數序列線上百科全書中的序列 A000043）。但是，請注意，第 39 個和第 40 個已知的梅森素數之間的區域尚未完全搜尋，因此，雖然列出的第 40 個數字是第 40 個被發現的梅森素數，但尚不清楚 M_20,996,011 是否實際上是第 40 個梅森素數。