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5階完美幻方被發現

作者：Eric W. Weisstein

2003年11月18日——本週，德國數學教師 Walter Trump 和法國軟體工程師 Christian Boyer 宣佈發現了 5 階完美幻方，從而解決了長期以來關於是否存在這種幻方的問題。

類似於幻方，幻立方被定義為一個 n x n x n 的整數陣列，其中 n² 行、n² 列、n² 柱以及四條空間對角線的數字之和都等於一個單一的數字 M(n)，這個數字被稱為幻立方的幻和。如果一個 n 階幻立方由連續數字 1, 2, ..., n³ 組成，則它被稱為正規幻立方，其幻和由下式給出

如果只有上述 3n² + 4 條對角線的和等於幻和，則該立方體被稱為半完美幻立方。然而，如果行、列、柱、空間對角線以及每個 n x n 正交切片的對角線（總共 6n 條正交對角線）的和都等於相同的數字，則該立方體被稱為完美幻立方。

存在一個平凡的 1 階完美幻立方，但不存在 2-4 階的完美幻立方 (Schroeppel 1972, Gardner 1988)。長期以來，人們並不知道是否存在 5 階或 6 階的完美（正規）幻立方 (Wells 1986, p. 72)，儘管 Schroeppel (1972) 和 Gardner (1988) 指出，任何 5 階正規完美幻立方的中心值必須為 63。

然後，在 2003 年 11 月 13 日，Trump 和 Boyer 發現了上面所示的 5 階完美幻立方 (Schroeppel 2003, Boyer 2003)。正如預期的那樣，這個幻立方的幻和為 315，中心值為 63。Trump 和 Boyer 使用的方法包括構建 3 階輔助立方體。這些立方體是中心對稱的，這意味著包括中心數字在內的所有 13 條由三個數字組成的線都滿足恆等式 x + y + 63 = 189 以及許多其他部分幻方特徵。Trump 和 Boyer 使用這些輔助立方體進行了大量的計算機搜尋，以填充缺失的數字，主要使用互補數字 x + y + 189 = 315。由於這個過程，這個幻立方中存在許多對稱性。經過數週的計算機搜尋和構建超過 80,000 個不同的 3 階輔助立方體後，Trump 和 Boyer 找到了第一個已知的 5 階完美幻立方 (Boyer 2003)。

在 Trump 和 Boyer 宣佈 5 階完美幻立方之後不久，Trump 於 2003 年 9 月 1 日發現了第一個已知的 6 階完美幻立方，如上圖所示。這個幻立方是使用與攻擊 5 階幻立方類似的技術發現的 (Boyer 2003)。正如可以直接驗證的那樣，Trump 的 6 階完美幻立方的幻和為 651。

令人高興的是，幻立方愛好者不必擔心幻立方不再有奧秘或挑戰。即使現在已知 5 階和 6 階的完美幻立方，關於幻立方仍有很多未知之處。例如，如果一個幻立方及其每個條目平方後得到的立方體都是幻方的（儘管在這種情況下，平方後的立方體自然不再是正規的），則該幻立方被稱為雙重幻立方。已知的最小雙重幻立方是 16 階，而已知的最小完美雙重幻立方是 32 階。類似地，已知的最小三重幻立方是 64 階，而已知的最小完美三重幻立方是 256 階 (Boyer, Heinz)。由於尚未發現更小的例子，因此這個研究領域仍然對有進取心的“立方體研究者”敞開大門！