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卡塔蘭猜想的草稿證明已流傳

作者：Eric W. Weisstein

2002 年 5 月 5 日——今天，在一封傳送給NMBRTHRY郵件列表的電子郵件中，數論學家 Alf van der Poorten 證實，數論學家 Preda Mihailescu 向一群數學家流傳了一個長期懸而未決的 卡塔蘭猜想 的明顯證明。

所討論的猜想是由比利時數學家 Eugène Charles Catalan 於 1844 年提出的，它指出 8 和 9 (2³ 和 3²) 是唯一的連續冪——不包括 0 和 1。換句話說，卡塔蘭猜想認為

是所謂的 卡塔蘭丟番圖問題 的唯一非平凡解，

儘管 Hyyrö 和 Makowski 先前已經證明不存在三個連續的冪（Ribenboim 1996），但卡塔蘭猜想本身在一個半多世紀以來一直頑固地拒絕被攻克。第一個突破性成果是 Robert Tijdeman（1976 年）的成果，他表明，如果該猜想不成立，則最多可能存在有限數量的例外。這導致了大量的計算工作，並且在 1999 年，Maurice Mignotte 表明，如果存在非平凡解，則 10⁷ < p < 7.15 x 10¹¹ 且 10⁷ < q < 7.78 x 10¹⁶ (Peterson 2000)。

最近在解決該猜想方面取得的最重大進展是透過追求已知結果，即如果方程存在其他解，則指數 p 和 q要麼是所謂的 雙 Wieferich 素數對（Steiner 1998），要麼它們滿足所謂的類數條件。關於此類別數條件的約束條件不斷得到改進，從 Inkeri 開始，並延續到 Steiner（1998 年）的工作。然後，在 1999 年春季，Bugeaud 和 Hanrot 證明了最弱可能的類數條件無條件成立（即，無論 p 和 q 是否為雙 Wieferich 素數對）。隨後，在 2000 年秋季，Mihailescu 證明了雙 Wieferich 素數對條件也必須無條件成立 (Peterson 2000)。

然後，在 2002 年 4 月 18 日，據報道 Mihailescu 向幾位數學家傳送了一份手稿，聲稱證明了整個猜想。據報道，該論文還附帶了一份由同事 Yuri Bilu 撰寫的解釋性分析（van der Poorten 2002）。

在 Mihailescu 的成果被數學界分析並公開之前，卡塔蘭猜想仍然懸而未決。然而，就像最近由數學家 Andrew Wiles 證明的著名的 費馬最後定理 一樣，卡塔蘭自己在丟番圖數論中的著名問題看來很可能在不久的將來由於 Mihailescu 的工作而得到解決。