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大數定律弱形式

大數定律弱形式（參見大數定律強形式）是機率論中的一個結果，也稱為伯努利定理。設X_1, ..., X_n為獨立同分布隨機變數序列，每個變數都有均值 <X_i>=mu 和標準差 sigma。定義新變數

X=(X_1+...+X_n)/n.
(1)

那麼，當 n->infty 時，樣本均值 <x> 等於每個變數的總體均值 mu。

<X>=<(X_1+...+X_n)/n>
(2)
=1/n(<X_1>+...+<X_n>)
(3)
=(nmu)/n
(4)
=mu.
(5)

此外，

var(X)=var((X_1+...+X_n)/n)
(6)
=var((X_1)/n)+...+var((X_n)/n)
(7)
=(sigma^2)/(n^2)+...+(sigma^2)/(n^2)
(8)
=(sigma^2)/n.
(9)

因此，根據切比雪夫不等式，對於所有 epsilon>0，

P(|X-mu|>=epsilon)<=(var(X))/(epsilon^2)=(sigma^2)/(nepsilon^2).
(10)

當 n->infty 時，則有

lim_(n->infty)P(|X-mu|>=epsilon)=0.
(11)

（辛欽 1929）。換句話說，對於任意正數 epsilon，當 n->infty 時，平均值 |(X_1+...+X_n)/n-mu|<epsilon 的機率接近 1（Feller 1968，第 228-229 頁）。

另請參見

漸近均分性, 中心極限定理, 切比雪夫不等式, 算術的無聊定理, 真正大數定律, 大數定律強形式

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參考文獻

Feller, W. “大數定律。” 機率論及其應用導論，第 1 卷，第 3 版。 第 10 章。紐約：Wiley，第 228-247 頁，1968 年。Feller, W. “同分布變數的大數定律。” 機率論及其應用導論，第 2 卷，第 3 版。 第 7.7 節。紐約：Wiley，第 231-234 頁，1971 年。Khinchin, A. “關於大數定律。” Comptes rendus de l'Académie des Sciences 189, 477-479, 1929.Papoulis, A. 機率、隨機變數和隨機過程，第 2 版。 紐約：McGraw-Hill，第 69-71 頁，1984 年。

在 中引用

大數定律弱形式

請引用為

Weisstein, Eric W. “大數定律弱形式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/WeakLawofLargeNumbers.html

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