結構同態

在邏輯中，術語“同態”的使用方式類似於但又略有不同於其在抽象代數中的用法。在邏輯中的用法是範疇論中“態射”的一個特例。

設 ，和 是通用語言 的結構，並設 。則 是從到的同態，如果它滿足以下條件：

1. 對於每個常數 ，。

2. 對於每個謂詞符號 ，如果 的元數為 ，則

3. 對於每個函式符號（或運算），如果 的元數為 ，則對於任何 ，

例如，設 和 為（有向）圖（集合 是 的頂點集，而 是 的頂點集，而 是圖 的邊的關係表示，等等）。從 到 的同態是一個函式 ，使得對於 和 的任何頂點 ， 和 由有向邊連線（從 到 ），當且僅當頂點 和 由從 到 的有向邊連線時。

另一個例子可以在有序群理論中找到。設 和 為有序群。（我們使用符號 來表示乘法逆運算。我們將省略上標 和 ，並且對於任何 （或 ），我們用 表示 。）在這種情況下，形式上應用我們對同態的定義表明， 是同態當且僅當它滿足以下條件：

1. .

2. 對於 ，。

3. 對於任何 ，。

4. 對於任何 ， 當且僅當 。

（當然，這些條件可以被證明是冗餘的。因此，許多教材在定義同態時，不需要保持群的單位元 ()，並假設保持乘法逆運算。）

泛代數的同態是結構同態的特例，結構同態的概念也擴充套件了有序集和各種關係/代數結構範疇中相應的態射概念。