主題
Search

星數

廣義跳棋棋盤（或“中心”六角星形）中的單元格數量。與多邊形數不同，星數的情況存在歧義，即 S_0 或 S_1 應該設定為 1，因為定義星數的方程永遠不會給出 0。為了與其他圖形數保持一致性，所有圖形數都定義為 F_1=1，這裡也使用該定義，並且 S_n 定義為

S_n=6n(n-1)+1.
(1)

前幾個 n=1, 2, ... 的星數是 1, 13, 37, 73, 121, ... (OEIS A003154)，星數的生成函式是

(x(x^2+10x+1))/((1-x)^3)=x+13x^2+37x^3+73x^4+....
(2)

星數滿足線性遞推方程

S_n=S_(n-1)+12(n-1).
(3)

每個星數的數字根為 1 或 4，最後一位數字必須是 1、3 或 7 之一，最後兩位數字必須是 01、13、21、33、37、41、53、61、73、81 或 93 之一。

前幾個三角形星數是 1, 253, 49141, 9533161, ... (OEIS A006060)，可以使用以下公式計算

TS_n=(3[(7+4sqrt(3))^(2n-1)+(7-4sqrt(3))^(2n-1)]-10)/(32)
(4)
=194TS_(n-1)+60-TS_(n-2).
(5)

相應的三角形數的索引是 1, 22, 313, 4366, 60817, ... (OEIS A068774)，星數的索引是 1, 7, 91, 1261, 17557, ... (OEIS A068775)。

前幾個正方形星數是 1, 121, 11881, 1164241, 114083761, ... (OEIS A006061)。相應的正方形數的索引是 1, 11, 109, 1079, 10681, 105731, 1046629, ... (OEIS A054320)，星數的索引是 1, 5, 45, 441, 4361, 43165, 427285, ... (OEIS A068778)。正方形星數透過求解丟番圖方程獲得

2x^2+1=3y^2
(6)

並且可以使用以下公式計算

SS_n=([(5+2sqrt(6))^n(sqrt(6)-2)-(5-2sqrt(6))^n(sqrt(6)+2)]^2)/4.
(7)

另請參閱

跳棋, 六邊形數, 平方數, 星形, 三角形數

使用 探索

參考文獻

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 41, 1996.Gardner, M. "Hexes and Stars." Ch. 2 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 15-24, 1988.Hindin, H. "Stars, Hexes, Triangular Numbers, and Pythagorean Triples." J. Recr. Math. 16, 191-193, 1983-1984.Sloane, N. J. A. Sequences A003154/M4893, A006060/M5425, A006061/M5385, A054320, A068774, A068775, and A068778 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中引用

星數

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "星數。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/StarNumber.html

主題分類