半素理想

一個真理想 環 被稱為半素理想，如果當 對於環 的理想 J 和某個正整數，則 。 換句話說，商環 是一個半素環。

如果 是一個交換環，這等價於要求 與它的根理想重合（在這種情況下 也被稱為根理想）。 這意味著，每當元素 的某個正整數次冪 屬於 時，元素 本身也屬於 。 素理想當然是半素理想，但後者是一個更一般的概念。 整數環 的理想 不是素理想，但它是半素理想，因為對於所有整數 ， 是 的倍數 當且僅當 是，因為 2 和 3 都必須出現在它的素因數分解中。 同樣的論證表明，如果 是無平方因子數，則 的理想 總是半素理想。 當 是半素數時，情況不一定如此，這會導致術語上的衝突。

一般來說，主理想域的半素理想是生成元沒有重素因子的真理想。