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車多項式

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車多項式是一個多項式

R_(m,n)(x)=sum_(k=0)^(min(m,n))r_kx^k
(1)

其係數表示在 m×n 棋盤上放置 k 個互不攻擊的車的方式數。車多項式由下式給出

R_(m,n)(x)=n!x^nL_n^(m-n)(-x^(-1)),
(2)

其中 L_n^alpha(x) 是一個拉蓋爾伴隨多項式。

前幾個方格 n×n 棋盤上的車多項式 R_n=R_(nn) 是

R_1(x)=x+1
(3)
R_2(x)=2x^2+4x+1
(4)
R_3(x)=6x^3+18x^2+9x+1
(5)
R_4(x)=24x^4+96x^3+72x^2+16x+1
(6)

(OEIS A021010)。

RookPolynomial

例如，注意到 n=2 的情況有兩種方式放置兩個車（即車數 r_2^((2,2))=2），四種方式放置一個車（r_1^((2,2))=4），以及一種方式不放置車（r_0^((2,2))=1），因此 R_2(x)=2x^2+4x+1。

另請參閱

車數, 車互反定理, 車問題

使用 探索

參考文獻

Fielder, D. C. "車多項式生成器。" Mathematica J. 9, 371-375, 2004.Liu, C. L. 組合數學導論。 New York: McGraw-Hill, pp. 111-118, 1968.Riordan, J. "車的問題", "車多項式的性質", 和 "矩形棋盤"。 §7.2, 7.3, 和 7.4 in 組合分析導論。 New York: Wiley, pp. 164-170, 1958.Sloane, N. J. A. 整數數列線上百科全書中的數列 A021010。

在 中被引用

車多項式

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "車多項式。" 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/RookPolynomial.html

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