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拉東變換--圓柱

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RadonCylinder

設二維圓柱函式定義為

f(x,y)={1 for r<R; 0 for r>R.
(1)

那麼拉東變換由下式給出

R(p,tau)=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyf(x,y)delta[y-(tau+px)]dydx,
(2)

其中

delta(x)=1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(-ikx)dk
(3)

是狄拉克δ函式。用極座標重寫得到

R(p,tau)=1/(2pi)int_(-infty)^inftyint_0^(2pi)int_0^Re^(-ik(rsintheta-prcostheta))rdrdthetadk =1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(iktau)int_0^(2pi)int_0^Re^(-ikr(sintheta-pcostheta))rdrdthetadk.
(4)

現在使用調和加法定理來寫

sintheta-pcostheta=sqrt(1+p^2)cos(theta+phi)=sqrt(1+p^2)costheta^',
(5)

其中 phi 是一個相移。那麼

R(p,tau)=1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(iktau)int_0^R(int_0^(2pi)e^(-iksqrt(1+p^2)rcostheta^')dtheta^')rdrdk
(6)
=1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(iktau)int_0^R2piJ_0(ksqrt(1+p^2)r)rdrdk
(7)
=int_(-infty)^inftye^(iktau)int_0^RJ_0(ksqrt(1+p^2)r)rdrdk.
(8)

然後使用

int_0^zt^(n+1)J_n(t)dt=z^(n+1)J_(n+1)(z),
(9)

當 n=0 時，變為

int_0^ztJ_0(t)dt=zJ_1(z).
(10)

定義

t=ksqrt(1+p^2)r
(11)
dt=ksqrt(1+p^2)dr
(12)
rdr=(tdt)/(k^2(1+p^2)),
(13)

所以內積分是

int_0^(Rsqrt(1+p^2))J_0(t)(tdt)/(k^2(1+p^2))=1/(k^2(1+p^2))kRsqrt(1+p^2)J_1(kRsqrt(1+p^2))
(14)
=(J_1(kRsqrt(1+p^2)))/(ksqrt(1+p^2))R,
(15)

拉東變換變為

R(p,tau)=R/(sqrt(1+p^2))int_(-infty)^infty(e^(iktau)J_1(kRsqrt(1+p^2)))/kdk
(16)
=(2R)/(sqrt(1+p^2))int_0^infty(cos(ktau)J_1(kRsqrt(1+p^2)))/kdk
(17)
={2/(1+p^2)sqrt(R^2(1+p^2)-tau^2) for tau^2<R^2(1+p^2); 0 for tau^2>=R^2(1+p^2).
(18)

使用 p=cotalpha 轉換為 R^'，

R^'(r,alpha)=2/(sqrt(1+cot^2alpha))sqrt((1+cot^2alpha)R^2-r^2csc^2alpha)
(19)
=2/(cscalpha)sqrt(csc^2alphaR^2-r^2csc^2alpha)
(20)
=2sqrt(R^2-r^2),
(21)

這可以透過更簡單的方式推匯出來

R^'(r,alpha)=int_(-sqrt(R^2-r^2))^(sqrt(R^2-r^2))dy.
(22)

另請參閱

拉東變換, 拉東變換--狄拉克δ函式, 拉東變換--高斯函式, 拉東變換--正方形

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. "拉東變換--圓柱。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/RadonTransformCylinder.html

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