扁長球面波函式 -- 來自

扁長球面波函式

在扁長球面座標系中的波動方程是

del ^2Phi+k^2Phi=partial/(partialxi_1)[(xi_1^2-1)(partialPhi)/(partialxi_1)]+partial/(partialxi_2)[(1-xi_2^2)(partialPhi)/(partialxi_2)]
+(xi_1^2-xi_2^2)/((xi_1^2-1)(1-xi_2^2))(partial^2Phi)/(partialphi^2)+c^2(xi_1^2-xi_2^2)Phi=0,

(1)

其中

(2)

代入試探解

(3)

(4)

徑向微分方程是

(5)

角向微分方程是

(6)

注意這些方程是相同的（除了符號改變）。第一類扁長角函式由下式給出

$S_(mn)^((1))={sum_(r=1,3,...)^inftyd_r(c)P_(m+r)^m(eta) for n-m odd; sum_(r=0,2,...)^inftyd_r(c)P_(m+r)^m(eta) for n-m even,$

(7)

其中是一個連帶勒讓德多項式。第二類扁長角函式由下式給出

$S_(mn)^((2))={sum_(r=...,-1,1,3,...)d_r(c)Q_(m+r)^m(eta) for n-m odd; sum_(r=...,-2,0,2,...)d_r(c)Q_(m+r)^m(eta) for n-m even,$

(8)

其中是一個第二類連帶勒讓德函式，係數滿足遞推關係

(9)

其中

			(10)
			(11)
			(12)

對於 s 使用了各種歸一化方案（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 758 頁）。Meixner 和 Schäfke (1954) 使用

(13)

Stratton等人。(1956) 使用

$((n+m)!)/((n-m)!)={sum_(r=1,3,...)^(infty)((r+2m)!)/(r!)d_r for n-m odd; sum_(r=0,2,...)^(infty)((r+2m)!)/(r!)d_r for n-m even.$

(14)

Flammer (1957) 使用

$S_(mn)(c,0)={P_n^(m+1)(0) for n-m odd; P_n^m(0) for n-m even.$

(15)

另請參閱

扁球球面波函式, 球面波函式

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更多嘗試

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "球面波函式." 第 21 章，數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約: Dover, pp. 751-759, 1972.Flammer, C. 球面波函式。 斯坦福, CA: 斯坦福大學出版社, 1957.Meixner, J. 和 Schäfke, F. W. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen. 柏林: Springer-Verlag, 1954.Rhodes, D. R. "關於球面函式." J. Res. Nat. Bur. Standards--B. Math. Sci. 74B, 187-209, 7 月 - 9 月 1970.Stratton, J. A.; Morse, P. M.; Chu, L. J.; Little, J. D. C.; 和 Corbató, F. J. 球面波函式。 紐約: Wiley, 1956.

在中被引用

扁長球面波函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "扁長球面波函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ProlateSpheroidalWaveFunction.html

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