主題
Search

素數陣列

下載 Mathematica 筆記本下載 Wolfram 筆記本

找到包含最大可能數量的素數的單數字陣列，其中允許的素數可以沿任何水平、垂直或對角線排列。

對於 2×2 陣列，最大值為 11 個素數，包含在兩個不同的陣列中

A(2,2)=[1 3; 4 7],[1 3; 7 9],
(1)

給出素數 (3, 7, 13, 17, 31, 37, 41, 43, 47, 71, 73) 和 (3, 7, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97)， 分別。

最佳 3×3 陣列是

A(3,3)=[1 1 3; 7 5 4; 9 3 7],
(2)

其中包含 30 個素數：3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 71, 73, 79, 97, 113, 157, 179, ... (OEIS A032529)。這個陣列由 Rivera 和 Ayala 發現，並於 1999 年 5 月由 Weisstein 證明為最大且唯一（模反射和旋轉）。

已知的最佳 4×4 陣列是

[1 1 3 9; 6 4 5 1; 7 3 9 7; 3 9 2 9], [1 1 3 9; 7 6 9 2; 5 4 7 9; 1 7 3 3], [1 7 3 3; 9 4 2 1; 6 5 9 1; 7 7 3 9], [3 1 6 7; 7 5 1 4; 9 2 9 3; 3 3 7 3]
(3)

所有這些都包含 63 個素數。第一個由 C. Rivera 和 J. Ayala 於 1998 年發現，另外三個由 James Bonfield 於 1999 年 4 月 13 日發現。Mike Oakes 透過計算證明了對於 4×4 陣列，63 個素數是最優的。

已知的最佳 5×5 素數陣列是

[1 1 9 3 3; 9 9 5 6 3; 8 9 4 1 7; 3 3 7 3 1; 3 2 9 3 9], [3 3 1 9 9; 8 3 9 1 1; 2 7 4 5 7; 1 9 6 7 3; 9 7 9 1 9]
(4)

每個都包含 116 個素數。第一個由 C. Rivera 和 J. Ayala 於 1998 年發現，第二個由 Wilfred Whiteside 於 1999 年 4 月 17 日發現。

已知的最佳 6×6 素數陣列是

[1 3 9 1 9 9; 3 1 7 2 3 4; 9 9 4 7 9 3; 9 1 5 7 1 3; 9 8 3 6 1 7; 9 1 7 3 3 3], [1 3 9 1 9 9; 9 1 7 2 3 4; 6 9 4 7 9 3; 7 1 5 7 1 3; 9 8 3 6 1 7; 9 1 7 3 3 3], [3 1 7 3 3 3; 9 9 5 6 3 9; 1 1 8 1 4 2; 1 3 6 3 7 3; 3 4 9 1 9 9; 3 7 9 3 7 9], [3 1 7 3 3 3; 9 9 5 6 3 9; 1 1 8 1 4 2; 1 3 6 3 7 3; 3 4 9 1 9 9; 3 7 9 9 3 9], [3 1 7 3 3 3; 9 9 5 6 3 9; 1 1 8 1 4 2; 1 3 6 3 7 3; 3 4 9 1 9 9; 9 7 9 3 7 9], [3 1 7 3 3 3; 9 9 5 6 3 9; 1 1 8 1 4 5; 1 3 6 3 7 3; 3 4 9 1 9 9; 9 9 9 2 3 3],
(5)

每個都包含 187 個素數。一個由 S. C. Root 發現，其他由 M. Oswald 於 1998 年發現。

已知的最佳 7×7 素數陣列是

[3 1 3 7 3 3 9; 9 9 2 3 3 3 3; 6 9 7 7 8 9 4; 7 6 1 5 9 1 9; 7 7 3 4 2 1 1; 9 9 4 7 9 3 9; 3 3 7 1 9 9 9],
(6)

其中包含 281 個素數，由 Wilfred Whiteside 於 1999 年 4 月 29 日發現。

已知的最佳 8×8 素數陣列是

[1 3 1 7 3 3 8 9; 9 3 3 2 6 9 9 9; 9 1 2 3 7 7 5 7; 6 9 1 7 2 4 3 3; 7 9 5 1 1 9 3 3; 9 9 1 6 4 3 3 3; 1 3 7 3 3 9 3 1; 9 1 9 3 9 3 7 3],
(7)

其中包含 394 個素數，由 Wilfred Whiteside 於 2005 年在 Al Zimmerman 的程式設計競賽中發現。

已知的最佳 9×9 素數陣列是

[3 1 9 3 7 6 9 3 3; 7 9 5 1 7 3 9 3 3; 9 9 3 9 2 2 9 7 3; 3 6 1 5 1 1 8 9 7; 4 7 7 4 3 1 3 3 1; 9 9 9 7 7 3 9 9 9; 3 3 3 9 5 1 4 3 9; 9 3 9 6 1 9 6 1 3; 9 6 3 3 7 9 1 3 3],
(8)

其中包含 527 個素數，由 Gary Hertel 發現。

Rivera 和 Ayala 的啟發式論證表明，4×4、5×5 和 6×6 陣列中素數的最大可能數量分別為 58-63、112-121 和 205-218。據信，直到 7×7 的所有陣列現在都是最優的 (J.-C. Meyrignac, 私人通訊, 2005 年 9 月 19 日)，給出了 n×n 陣列對於 n=1, 2, ... 的最大素數數量，分別為 1, 11, 30, 63, 116, 187 和 281 (OEIS A109943)。

對於 3×2 矩形陣列，最大值為 18 個素數，包含在陣列中

A(2,3)=[1 1 3; 9 7 4],[1 7 2; 3 5 9],[1 7 2; 4 3 9],[1 7 5; 4 3 9],[1 7 9; 3 2 5],[1 7 9; 4 3 2],[1 7 9; 4 3 4],[3 1 6; 4 7 9],[3 7 6; 4 1 9].
(9)

對於 3×4 矩形陣列，最大值為 43 個素數，並且（模反射和旋轉）恰好有 3 個不同的解

[1 9 9 7; 1 5 4 6; 3 3 7 1],[1 9 9 7; 1 5 7 4; 3 6 1 3],[3 9 2 9; 4 1 5 7; 7 6 1 3]
(10)

正如 Mike Oakes 於 2004 年 12 月 29 日透過 12 GHz 小時的計算證明的那樣，該計算評估了所有 10^(12) 候選配置。

另請參見

陣列, 素數算術級數, 素數星座, 素數幻方, 可截斷素數

透過 探索

參考文獻

Dewdney, A. K. "計算機娛樂：如何在數字礫石中淘選素數。" 科學美國人 259, 120-123, 1988 年 7 月。Lee, G. "勝者和敗者。" 龍使用者 1984 年 5 月。Lee, G. "戈登令人費解的素數搜尋難題。" http://web.archive.org/web/20011117165915/http://www.geocities.com/MotorCity/7983/primesearch.html。Rivera, C. "問題與謎題：謎題 061 - 戈登李謎題。" http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_001.htm。Sloane, N. J. A. 序列 A032529 和 A109943，在“整數序列線上百科全書”中。Zimmermann, A. "競賽期間找到的最佳 Part 1 網格。" http://www.recmath.org/contest/BestSolutions1.php。

在 上引用

素數陣列

請引用為

Weisstein, Eric W. "素數陣列。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PrimeArray.html

學科分類